Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas:
9.1)
, e
9.1)
Passo 1
Estamos procurando o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada por y=ln x, y=-1, y=2 e x=0; o conteúdo aqui é cálculo de volume por seções transversais (método dos discos) e precisamos escrever x em função de y.
Passo 2
Da equação y=ln x tiramos x=e^y; a região em termos de y fica com y variando de -1 a 2 e, para cada y, x vai de 0 a e^y.
Em cada fatia horizontal a distância do eixo y até a curva x=e^y é o raio do disco. Logo a área da seção transversal é A(y)=π·[ey]2 = πe^{2y} e o volume é V= ∫_{y=-1}^{2} A(y) dy.
Em cada fatia horizontal a distância do eixo y até a curva x=e^y é o raio do disco. Logo a área da seção transversal é A(y)=π·[ey]2 = πe^{2y} e o volume é V= ∫_{y=-1}^{2} A(y) dy.
Passo 3
Calculamos a integral: ∫ e^{2y} dy = \frac{e^{2y}}{2}. Portanto,
Substituindo os limites y=-1 e y=2 em π·\frac{e^{2y}}{2} obtemos V=\frac{π}{2}\bigl(e{4}-e{-2}\bigr).
Substituindo os limites y=-1 e y=2 em π·\frac{e^{2y}}{2} obtemos V=\frac{π}{2}\bigl(e{4}-e{-2}\bigr).