Encontre as seguintes integrais usando integrais imediatas
\int \frac{x^{2}-3 x+5}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}-3 x+5}{x^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função integranda é \dfrac{x^{2}-3x+5}{x^{2}}.
  • Devemos encontrar uma primitiva (antiderivada) — lembrar de adicionar a constante de integração C.
  • Note que há divisão por x^{2}, então precisamos ter em mente que x\neq0 (a primitiva valerá em cada intervalo onde x não muda de sinal).

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por x^{2}. Isso facilita usar integrais imediatas (regras básicas).
\frac{x^{2}-3x+5}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{3x}{x^{2}}+\frac{5}{x^{2}}.
Agora simplificamos cada fração:
\frac{x^{2}}{x^{2}}=1,\qquad \frac{3x}{x^{2}}=\frac{3}{x},\qquad \frac{5}{x^{2}}=5x^{-2}.
Logo a integranda fica
\frac{x^{2}-3x+5}{x^{2}} = 1 - \frac{3}{x} + 5x^{-2}.

Passo 3

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Assim
\int \left(1 - \frac{3}{x} + 5x^{-2}\right)\,dx = \int 1\,dx - 3\int \frac{1}{x}\,dx + 5\int x^{-2}\,dx.
Aqui estou aplicando que \int (a f + b g)\,dx = a\int f\,dx + b\int g\,dx.

Passo 4

Relembrando as regras básicas (aquelas “imediatas”) que vamos usar:
  • Regra da potência (quando o expoente não é -1):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1.
Isso significa, por exemplo, \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3} e \int x^{-2}\,dx=\dfrac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}.
  • Caso especial n=-1:
\int \frac{1}{x}\,dx = \int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C.
  • Integral de constante:
\int 1\,dx = x + C.

Passo 5

Agora aplicamos essas regras termo a termo.
  1. Para o primeiro termo:
\int 1\,dx = x.
  1. Para o segundo termo:
-3\int \frac{1}{x}\,dx = -3\ln\lvert x\rvert.
(usei o caso n=-1).
3. Para o terceiro termo:
5\int x^{-2}\,dx = 5\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right) = -5x^{-1} = -\frac{5}{x}.
(usei a regra da potência com n=-2).

Passo 6

Somando os resultados dos três termos e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva final:
x - 3\ln\lvert x\rvert - \frac{5}{x} + C.
Lembre-se: essa expressão é válida para x\neq0; o \ln\lvert x\rvert garante que funcionamos tanto para x>0 quanto para x<0.

Resposta

x - 3\ln\lvert x\rvert - \dfrac{5}{x} + C

Exercícios relacionados