Encontre as seguintes integrais usando integrais imediatas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e observações importantes:
- A função integranda é
. - Devemos encontrar uma primitiva (antiderivada) — lembrar de adicionar a constante de integração
. - Note que há divisão por
, então precisamos ter em mente que (a primitiva valerá em cada intervalo onde não muda de sinal).
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por
. Isso facilita usar integrais imediatas (regras básicas).
Agora simplificamos cada fração:
Logo a integranda fica
Passo 3
Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Assim
Aqui estou aplicando que
.
Passo 4
Relembrando as regras básicas (aquelas “imediatas”) que vamos usar:
- Regra da potência (quando o expoente não é
):
Isso significa, por exemplo,
e
.
- Caso especial
:
- Integral de constante:
Passo 5
Agora aplicamos essas regras termo a termo.
- Para o primeiro termo:
- Para o segundo termo:
(usei o caso
).
3. Para o terceiro termo:
3. Para o terceiro termo:
(usei a regra da potência com
).
Passo 6
Somando os resultados dos três termos e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva final:
Lembre-se: essa expressão é válida para
; o
garante que funcionamos tanto para
quanto para
.