Esboce o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P(x, y) quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determine a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
\left\{\begin{array}{l}x=t+1 \cos t \\\ y=t^{2}+4 \operatorname{sen} t \\\ z=2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
\begin{cases} x = t + \cos t,\\\ y = t^{2} + 4\,\sin t,\\\ z = 2, \end{cases}
com t variando num intervalo (não especificado). Precisamos
  1. Esboçar o gráfico dessa curva no espaço e
  2. Encontrar a equação cartesiana eliminando o parâmetro, se possível.

Passo 2

Repare que z=2 é constante: a curva vive inteiramente no plano horizontal z=2.
Para esboçar, note que, para valores de t grandes, x\approx t e y\approx t^2, mas há oscilações de pequena amplitude \cos t em x e 4\sin t em y. Portanto o traçado é uma espécie de braço de parábola y\approx x^2 no plano z=2, “ondulado” por causa dos termos trigonométricos.

Passo 3

Tentemos eliminar t. Das duas primeiras equações temos
\cos t = x - t,\qquad \sin t = \frac{y - t^2}{4}.
Em princípio poderíamos usar \cos^2t+\sin^2t=1, o que daria
(x - t)^2 + \Bigl(\frac{y - t^2}{4}\Bigr)^2 = 1.
Mas esse “resíduo” t permanece dentro dos parênteses, gerando uma relação implícita em x,y que ainda depende de t. Não existe, em geral, forma fechada elementar para isolar t nesses termos (é um problema transcendental).

Passo 4

Concluímos que não há uma expressão cartesiana y=f(x)\) ou \(F(x,y,z)=0\) que elimine completamente \(t\) por métodos algébricos elementares. A melhor forma de “equação cartesiana” que podemos escrever é em termos de uma condição implícita com resíduo de \(t\), ou seja a interseção \[\begin{cases} (x - t)^2 + \bigl(\tfrac{y - t^2}{4}\bigr)^2 = 1,\\\ z = 2, \end{cases}
sendo (t] o parâmetro que varre a curva.

Resposta

A curva é a interseção do plano z=2 com o “túnel” descrito pela condição
(x - t)^2 + \Bigl(\frac{y - t^2}{4}\Bigr)^2 = 1,
e não admite expressão cartesiana explícita em termos de x e y sem manter um vestígio do parâmetro t.

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