Encontrar a derivada direcional em P dos campos vetoriais dados, na direção do vetor a=2 i-j+k.
a) f(x, y, z)=2 x i+5 y j+4 k ; P(1,1,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional de um campo vetorial no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional para campos vetoriais, que envolve calcular a matriz Jacobiana do campo vetorial e multiplicar por um vetor unitário na direção de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor unitário na direção de |a| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 . Para isso, precisamos calcular o comprimento (magnitude) de u = a|a| = ( 2raiz6, -1raiz6, 1raiz6 ) e dividir cada componente de por esse comprimento.
O vetor .
O comprimento de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a matriz Jacobiana do campo vetorial J = 2 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & 0 .
A matriz Jacobiana é composta pelas derivadas parciais de cada componente de em relação às variáveis e . Como tem componentes que são funções lineares, as derivadas são constantes.
Vamos derivar cada componente:
Então, a matriz Jacobiana fica:

Passo 4

Em seguida, vamos avaliar a matriz Jacobiana no ponto J(P) = 2 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & 0 . Mas, como todas as derivadas são constantes, a matriz Jacobiana em é a mesma:

Passo 5

Finalmente, para encontrar a derivada direcional de Da f(P) = J(P) cdot u = 2 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & 0 cdot 2raiz6 -1raiz6 1raiz6 = 2 cdot 2raiz6 + 0 + 0 0 + 5 cdot -1raiz6 + 0 0 + 0 + 0 = 4raiz6 -5raiz6 0 em na direção de , multiplicamos a matriz Jacobiana pelo vetor unitário :

Resposta

A derivada direcional do campo vetorial Da f(P) = ( 4raiz6 )i + ( -5raiz6 )j + 0k em na direção de é:

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