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Questão 4: (1.0 ponto) Utilize coordenadas polares para calcular
integral duplaB(y^2+x^2) d A
, onde B é o anel formado por B=(x, y) mid 1 <= x^2+y^2 <= 4

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaB(x^2+y^2),dA onde B é o anel definido por 1<= x^2+y^2<=4, usando coordenadas polares. Vamos usar a mudança x=rcostheta, y=rsintheta e o jacobiano dA=r,dr,dtheta.
Em coordenadas polares temos x^2+y^2=r^2 e dA=r,dr,dtheta. Os limites do anel são 1<= r<=2 e 0<=theta<=2pi, de modo que
integral duplaB(x^2+y^2),dA = integral0^2piintegral1^2r^2cdot r,dr,dtheta = integral0^2piintegral1^2r^3,dr,dtheta,

Passo 2

fazendo primeiro a integral em r:
integral1^2r^3,dr = [r^44]1^2 = 16-14 = 154

Passo 3

Agora integramos em theta:
integral0^2pi154,dtheta = 154cdot(2pi)

Resposta

tfrac15pi2

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