Suponha que o custo semanal, em reais, para fabricaçăo de x geladeiras seja dada pela funçăo custo C(x)=8000+400 x-0,2 x^2 com 0 <= x <= 40. Use diferencial para estimar de quanto aumentará, em aproximadamente, o custo de 51 geladeiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o custo semanal para fabricar geladeiras, dado pela função $ C(x) = 8000 + 400x - 0,2x^2 $, onde $ x $ é a quantidade de geladeiras produzidas, variando de 0 a 40. Nosso objetivo aqui é usar diferenciais para estimar quanto o custo vai aumentar aproximadamente quando a produção passa para 51 geladeiras.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um diferencial. Diferencial é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a estimar pequenas variações em funções. Neste caso, queremos saber como uma pequena mudança na quantidade de geladeiras ($ \Delta x De \Delta C $).

Passo 3

Para usar os diferenciais, vamos precisar calcular a derivada da função custo em relação a $ x $. A derivada nos dá a taxa de variação do custo quando a quantidade de geladeiras muda. Vamos calcular $ C’(x) $.

Passo 4

Calculando a derivada:
C(x) = 8000 + 400x - 0,2x^2
A derivada de $ C(x) $ em relação a $ x $ é:
C(x)

Passo 5

Agora, precisamos avaliar $ C’(x) $ no ponto onde queremos estimar a variação, que é quando $ x = 50 $ (já que estamos indo de 50 para 51 geladeiras). Vamos substituir $ x = 50 $ na derivada:
C'(x)

Passo 6

A variação na quantidade de geladeiras é $ \Delta x = 1 $ (de 50 para 51). Usando o diferencial, a variação aproximada no custo ($ \Delta C $) é:
De

Resposta

Então, o custo vai aumentar aproximadamente R$ 380 quando a produção passa de 50 para 51 geladeiras.

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