Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
Determine
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações fornecidas:
- A função é um polinômio com três termos:
, e . - Quer-se
, a derivada de em função de .
Passo 2
O que é derivada (intuitivamente): a derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação instantânea da função em relação a
— pense como a inclinação da reta tangente ao gráfico naquele ponto. Para calcular derivadas de expressões algébricas usamos regras que transformam cada termo em seu correspondente “termo derivado”.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da linearidade (soma/diferença): a derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) das derivadas.
Aqui cada termo do polinômio pode ser derivado separadamente. - Regra do fator constante: uma constante multiplicando uma função sai como fator na derivada.
onde é constante. - Regra do expoente (power rule): para um número inteiro
, Explicação curta dessa regra para (exemplo concreto): . Expandindo e dividindo por sobra ; ao tomar fica , que é exatamente . A mesma ideia (via binômio de Newton) generaliza para outros inteiros .
Passo 4
Derivando termo a termo com as regras acima.
Derivada do primeiro termo
:
- Pelo fator constante e pela regra do expoente,
Portanto a derivada desse termo é
.
Passo 5
Derivada do segundo termo
:
- Aplicando fator constante e power rule,
Portanto a derivada desse termo é
.
Passo 6
Derivada do terceiro termo (constante)
:
- A derivada de uma constante é zero:
Passo 7
Somando as derivadas parciais obtidas (pela linearidade), a derivada da função
é a soma das três parcelas derivadas calculadas nos passos anteriores. As parcelas foram:
- do primeiro termo:
, - do segundo termo:
, - do terceiro termo:
.