Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
f(x)=3 x^{5}-5 x^{3}+2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=3x^{5}-5x^{3}+2.
Informações fornecidas:
  • A função é um polinômio com três termos: 3x^{5}, -5x^{3} e 2.
  • Quer-se f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

O que é derivada (intuitivamente): a derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação instantânea da função em relação a x — pense como a inclinação da reta tangente ao gráfico naquele ponto. Para calcular derivadas de expressões algébricas usamos regras que transformam cada termo em seu correspondente “termo derivado”.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da linearidade (soma/diferença): a derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) das derivadas. \frac{d}{dx}\big( u(x) \pm v(x)\big)=\frac{d}{dx}u(x)\pm\frac{d}{dx}v(x).Aqui cada termo do polinômio pode ser derivado separadamente.
  • Regra do fator constante: uma constante multiplicando uma função sai como fator na derivada. \frac{d}{dx}\big(c\cdot u(x)\big)=c\cdot\frac{d}{dx}u(x),onde c é constante.
  • Regra do expoente (power rule): para um número inteiro n, \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.Explicação curta dessa regra para n=3 (exemplo concreto): \dfrac{d}{dx}x^{3}=\lim_{h\to0}\dfrac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}. Expandindo (x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3} e dividindo por h sobra 3x^{2}+3xh+h^{2}; ao tomar h\to0 fica 3x^{2}, que é exatamente 3x^{3-1}. A mesma ideia (via binômio de Newton) generaliza para outros inteiros n.

Passo 4

Derivando termo a termo com as regras acima.
Derivada do primeiro termo 3x^{5}:
  • Pelo fator constante e pela regra do expoente,
\frac{d}{dx}\big(3x^{5}\big)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{5}\big)=3\cdot(5x^{4}).
Portanto a derivada desse termo é 3\cdot5x^{4}.

Passo 5

Derivada do segundo termo -5x^{3}:
  • Aplicando fator constante e power rule,
\frac{d}{dx}\big(-5x^{3}\big)=-5\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=-5\cdot(3x^{2}).
Portanto a derivada desse termo é -5\cdot3x^{2}.

Passo 6

Derivada do terceiro termo (constante) 2:
  • A derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}(2)=0.

Passo 7

Somando as derivadas parciais obtidas (pela linearidade), a derivada da função f é a soma das três parcelas derivadas calculadas nos passos anteriores. As parcelas foram:
  • do primeiro termo: 3\cdot5x^{4},
  • do segundo termo: -5\cdot3x^{2},
  • do terceiro termo: 0.

Resposta

f'(x)=15x^{4}-15x^{2}

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