Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
Determine
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dada a função
. - A tarefa é encontrar a derivada
. - Informação importante sobre o domínio (peguei do próprio radicando): para que a raiz quadrada esteja definida no conjunto dos números reais é preciso que
. Logo o domínio é (ou seja, ou ).
Neste passo eu apenas organizei o que temos; agora partimos para calcular a derivada.
Passo 2
Reescrever a função de forma que a regra da derivada fique clara.
É mais fácil derivar se escrevermos a raiz como potência:
É mais fácil derivar se escrevermos a raiz como potência:
Aqui vou usar duas coisas fundamentais:
- Regra da potência combinada com a regra da cadeia: se
, então
Expliquei isso:
é a função interna (aquela que está dentro da potência) e
é o expoente. Primeiro diferencia-se a potência como se
fosse uma variável, obtendo
, e depois multiplica-se pela derivada de
(isso é a regra da cadeia).
No nosso caso:
-
, -
.
Passo 3
Calcular a derivada da função interna
.
A função interna é . Usando a regra da derivada de uma potência simples e da soma/constante:
A função interna é
Aqui usei que
e que a derivada de constante é zero.
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia e simplificar.
Usando a fórmula do Passo 2 com e
:
Usando a fórmula do Passo 2 com
Agora simplifico: os
se cancelam,
Voltando a escrever com raiz para ficar mais familiar:
Passo 5
Observações importantes sobre domínio e interpretação (para prova).
- A expressão
só faz sentido (no contexto de derivada real) quando o denominador é estritamente positivo, ou seja, quando . Assim, a fórmula vale para e para . - Nos pontos
o radicando é zero e o denominador fica ; portanto a derivada não existe em . Em termos geométricos, a função tem uma tangente vertical (derivada com valor infinito ou indefinida) nesses pontos. - Sobre o sinal da derivada: para
temos (função crescente à direita), e para temos (função decrescente à esquerda), porque o denominador é sempre positivo e o numerador tem o mesmo sinal de .
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para treinar na prova).
Calcular : usando a fórmula,
Calcular
Isso mostra como aplicar a expressão final em um ponto do domínio.