Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
f(x)=\sqrt{x^{2}-4}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dada a função f(x)=\sqrt{x^{2}-4}.
  • A tarefa é encontrar a derivada f'(x).
  • Informação importante sobre o domínio (peguei do próprio radicando): para que a raiz quadrada esteja definida no conjunto dos números reais é preciso que x^{2}-4\ge 0. Logo o domínio é |x|\ge 2 (ou seja, x\le -2 ou x\ge 2).
    Neste passo eu apenas organizei o que temos; agora partimos para calcular a derivada.

Passo 2

Reescrever a função de forma que a regra da derivada fique clara.
É mais fácil derivar se escrevermos a raiz como potência:
f(x)=(x^{2}-4)^{1/2}.
Aqui vou usar duas coisas fundamentais:
  • Regra da potência combinada com a regra da cadeia: se f(x)=\big(u(x)\big)^{n}, então
f'(x)=n\big(u(x)\big)^{n-1}\cdot u'(x).
Expliquei isso: u(x) é a função interna (aquela que está dentro da potência) e n é o expoente. Primeiro diferencia-se a potência como se u fosse uma variável, obtendo n u^{n-1}, e depois multiplica-se pela derivada de u(x) (isso é a regra da cadeia).
No nosso caso:
  • u(x)=x^{2}-4,
  • n=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Calcular a derivada da função interna u(x).
A função interna é u(x)=x^{2}-4. Usando a regra da derivada de uma potência simples e da soma/constante:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)-\frac{d}{dx}(4)=2x-0=2x.
Aqui usei que \frac{d}{dx}(x^{2})=2x e que a derivada de constante é zero.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia e simplificar.
Usando a fórmula do Passo 2 com n=\tfrac{1}{2} e u'(x)=2x:
f'(x)=\frac{1}{2}\big(x^{2}-4\big)^{-1/2}\cdot 2x.
Agora simplifico: os 2 se cancelam,
f'(x)=x\big(x^{2}-4\big)^{-1/2}.
Voltando a escrever com raiz para ficar mais familiar:
f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}.

Passo 5

Observações importantes sobre domínio e interpretação (para prova).
  • A expressão \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-4}} só faz sentido (no contexto de derivada real) quando o denominador é estritamente positivo, ou seja, quando x^{2}-4>0. Assim, a fórmula vale para x<-2 e para x>2.
  • Nos pontos x=\pm 2 o radicando é zero e o denominador fica 0; portanto a derivada não existe em x=\pm 2. Em termos geométricos, a função tem uma tangente vertical (derivada com valor infinito ou indefinida) nesses pontos.
  • Sobre o sinal da derivada: para x>2 temos f'(x)>0 (função crescente à direita), e para x<-2 temos f'(x)<0 (função decrescente à esquerda), porque o denominador é sempre positivo e o numerador tem o mesmo sinal de x.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para treinar na prova).
Calcular f'(3): usando a fórmula,
f'(3)=\frac{3}{\sqrt{3^{2}-4}}=\frac{3}{\sqrt{9-4}}=\frac{3}{\sqrt{5}}.
Isso mostra como aplicar a expressão final em um ponto do domínio.

Resposta

f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}

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