Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
f(x)=e^{-x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f. Dados:
  • Função: f(x)=e^{-x}\cos x.
    A tarefa é encontrar f'(x).

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (com explicação didática):
  • Regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa: derivar a primeira mantendo a segunda, somar com a primeira mantendo a segunda derivada. É a forma padrão de derivar produto de duas funções.
  • Regra da cadeia (aplicada a exponenciais): se u(x)=e^{g(x)}, então
u'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x).
Ou seja, derivada da exponencial é ela mesma vezes a derivada do expoente.
  • Derivada do cosseno: \dfrac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Identifico as duas funções do produto:
u(x)=e^{-x},\qquad v(x)=\cos x.
Agora calculo u'(x) usando a regra da cadeia. O expoente é g(x)=-x, cuja derivada é g'(x)=-1. Assim,
u'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.
Explicando: ao derivar e^{-x} mantém-se e^{-x} e multiplica-se pela derivada do expoente, que é -1.

Passo 4

Calculo v'(x). Como dito,
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.

Passo 5

Aplico agora a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u',u,v':
f'(x)=(-e^{-x})\cos x + e^{-x}(-\sin x).

Passo 6

Simplifico a expressão fatorando e^{-x}:
f'(x)=e^{-x}\big(-\cos x - \sin x\big).
Posso também escrever colocando o sinal negativo em evidência:
f'(x)=-e^{-x}\big(\cos x+\sin x\big).

Resposta

-e^{-x}\big(\cos x+\sin x\big)

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