Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
Determine
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado:
- Pede-se a derivada da função
. - A função dada é
. - Informação importante que vem do enunciado: a função logaritmo natural
só está definida quando o argumento é positivo, ou seja, é preciso ter . Note-se que tem raízes em e (isto será útil para o domínio).
Passo 2
Relembrando a regra que vamos usar (cadeia + derivada do log):
- Se
, então pela regra da cadeia a derivada é dada por
- Aqui
representa a função interna que está dentro do . É importante entender cada parte: é a expressão dentro do logaritmo e é a derivada dessa expressão em relação a .
Passo 3
Identificar a função interna e derivá‑la passo a passo:
- Tome
. - Para derivar
usamos regras básicas: derivada de é , derivada de é , e derivada da constante é .
Passo 4
Aplicar a fórmula da cadeia para obter a derivada de
:
- Substituindo
e na fórmula do Passo 2,
- Observação sobre domínio: a derivada só faz sentido onde
está definida, isto é onde . Como , o argumento do é positivo para ou . Além disso (esses pontos anulam o denominador).
Passo 5
Forma alternativa (mais simples para manipulações): decomposição em frações parciais
- Fatora‑se o denominador:
. - Procuramos constantes
e tais que
- Multiplicando em comum denominador obtemos
- Igualando coeficientes:
e . Daí e . - Portanto outra escrita conveniente para a derivada é
válida nos mesmos pontos do domínio de
.