Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
f(x)=\ln (x^{2}-3 x+2)

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado:
  • Pede-se a derivada da função f.
  • A função dada é f(x)=\ln\!\bigl(x^{2}-3x+2\bigr).
  • Informação importante que vem do enunciado: a função logaritmo natural \ln(\cdot) só está definida quando o argumento é positivo, ou seja, é preciso ter x^{2}-3x+2>0. Note-se que x^{2}-3x+2 tem raízes em x=1 e x=2 (isto será útil para o domínio).

Passo 2

Relembrando a regra que vamos usar (cadeia + derivada do log):
  • Se f(x)=\ln\!\bigl(u(x)\bigr), então pela regra da cadeia a derivada é dada por
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
  • Aqui u(x) representa a função interna que está dentro do \ln. É importante entender cada parte: u(x) é a expressão dentro do logaritmo e u'(x) é a derivada dessa expressão em relação a x.

Passo 3

Identificar a função interna e derivá‑la passo a passo:
  • Tome u(x)=x^{2}-3x+2.
  • Para derivar u(x) usamos regras básicas: derivada de x^{2} é 2x, derivada de -3x é -3, e derivada da constante 2 é 0.
u'(x)=2x-3.

Passo 4

Aplicar a fórmula da cadeia para obter a derivada de f:
  • Substituindo u(x) e u'(x) na fórmula do Passo 2,
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x-3}{x^{2}-3x+2}.
  • Observação sobre domínio: a derivada só faz sentido onde f está definida, isto é onde x^{2}-3x+2>0. Como x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2), o argumento do \ln é positivo para x<1 ou x>2. Além disso x\neq1,2 (esses pontos anulam o denominador).

Passo 5

Forma alternativa (mais simples para manipulações): decomposição em frações parciais
  • Fatora‑se o denominador: x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
  • Procuramos constantes A e B tais que
\frac{2x-3}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}.
  • Multiplicando em comum denominador obtemos
2x-3 = A(x-2)+B(x-1) = (A+B)x - (2A+B).
  • Igualando coeficientes: A+B=2 e -2A-B=-3. Daí A=1 e B=1.
  • Portanto outra escrita conveniente para a derivada é
f'(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2},
válida nos mesmos pontos do domínio de f.

Resposta

f'(x)=\dfrac{2x-3}{x^{2}-3x+2}=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}

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