Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
Determine
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
.
Informações importantes fornecidas:
- A função é
. - A função só está definida quando
, ou seja para nos intervalos , com . (Essa restrição é importante para a derivada também.)
Passo 2
Relembrando duas regras que vou usar (explicadas de forma bem direta):
- Regra 1 — derivada do logaritmo natural: para uma função
com ,
Isto vem do fato de que
é a inversa da exponencial
e a derivada de
é
onde definida.
- Regra 2 — regra da cadeia (para composições): se
, então
Isto significa: derivar a função externa em relação à interna e multiplicar pela derivada da função interna.
Passo 3
Aplicando as regras ao nosso caso:
- Identifico a parte externa e a parte interna da composição:
- Parte externa:
. - Parte interna:
.
- Parte externa:
- Calculo a derivada da parte interna:
Passo 4
Agora uso a regra da cadeia: a derivada de
é
Substituindo
com
e
, obtenho
Passo 5
Simplificando, a fração
é pela definição a função cotangente, então
valendo isso nos
onde
(ou seja nos intervalos indicados no Passo 1). Exemplo rápido para fixar: em
a derivada vale
, que faz sentido.