Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
f(x)=\ln (\sin x)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função f(x)=\ln(\sin x).
Informações importantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\ln(\sin x).
  • A função só está definida quando \sin x>0, ou seja para x nos intervalos (0,\pi)+2\pi k, com k\in\mathbb{Z}. (Essa restrição é importante para a derivada também.)

Passo 2

Relembrando duas regras que vou usar (explicadas de forma bem direta):
  • Regra 1 — derivada do logaritmo natural: para uma função g(u)=\ln u com u>0,
g'(u)=\frac{1}{u}.
Isto vem do fato de que \ln é a inversa da exponencial e^x e a derivada de \ln é 1/u onde definida.
  • Regra 2 — regra da cadeia (para composições): se f(x)=g(h(x)), então
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Isto significa: derivar a função externa em relação à interna e multiplicar pela derivada da função interna.

Passo 3

Aplicando as regras ao nosso caso:
  • Identifico a parte externa e a parte interna da composição:
    • Parte externa: g(u)=\ln u.
    • Parte interna: h(x)=\sin x.
  • Calculo a derivada da parte interna:
h'(x)=\frac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x.

Passo 4

Agora uso a regra da cadeia: a derivada de f(x)=g(h(x)) é
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Substituindo g'(u)=\dfrac{1}{u} com u=h(x)=\sin x e h'(x)=\cos x, obtenho
f'(x)=\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x=\frac{\cos x}{\sin x}.

Passo 5

Simplificando, a fração \dfrac{\cos x}{\sin x} é pela definição a função cotangente, então
f'(x)=\cot x,
valendo isso nos x onde \sin x>0 (ou seja nos intervalos indicados no Passo 1). Exemplo rápido para fixar: em x=\tfrac{\pi}{4} a derivada vale \dfrac{\cos(\pi/4)}{\sin(\pi/4)}=1, que faz sentido.

Resposta

\dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x

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