Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
f(x)=\operatorname{arccos} (2 x-3)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=\operatorname{arccos}\bigl(2x-3\bigr).
Informações fornecidas e observações importantes:
  • A função é composta: argumento interno 2x-3 e a função externa \operatorname{arccos}(\cdot).
  • Domínio da função f: exige-se -1 \le 2x-3 \le 1, ou seja 1 \le x \le 2.
  • O que se pede: calcular f'(x), a derivada em termos de x (e indicar onde ela existe).

Passo 2

Lembrete teórico (lias comigo, devagarinho): a derivada da função inversa \operatorname{arccos} é conhecida. Se definirmos y=\operatorname{arccos}(u) com u sendo uma função de x, então por definição \cos y = u. Diferenciando implicitamente em relação a x obtemos:
-\sin y\cdot \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}.
Isolando \dfrac{dy}{dx} vem
\frac{dy}{dx} = -\frac{\dfrac{du}{dx}}{\sin y}.
Agora usamos que \sin y pode ser escrito em termos de u, porque \cos^2 y + \sin^2 y = 1. Como \cos y = u e para y=\operatorname{arccos}(u) temos y\in[0,\pi] (onde \sin y\ge0), então
\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y} = \sqrt{1-u^2}.
Substituindo na expressão de \dfrac{dy}{dx} resulta a fórmula da regra da cadeia para \operatorname{arccos}:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos}(u(x))\bigr) = -\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^2}}.
Explicação curta: a derivada da externa \operatorname{arccos} -1/\sqrt{1-u^2} e depois multiplica-se pela derivada do interno u'(x) (essa multiplicação é a regra da cadeia).

Passo 3

Identificar o interno e calcular sua derivada. Aqui o interno é
u(x)=2x-3.
A derivada de uma função linear ax+b é a. Logo
u'(x)=2.

Passo 4

Aplicar a fórmula da etapa anterior substituindo u(x) e u'(x). Assim
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos}(2x-3)\bigr) = -\frac{2}{\sqrt{\,1-(2x-3)^2\,}}.
Este é o resultado algébrico da derivada. Lembre-se que a raiz no denominador exige 1-(2x-3)^2>0 para a derivada existir (denominador não pode ser zero).

Passo 5

Determinar onde a derivada existe: a função \operatorname{arccos}(2x-3) está definida em 1\le x\le 2. A derivada formula apresentada existe quando -1<2x-3<1, ou seja quando 1<x<2. Nas extremidades x=1 e x=2 o denominador vira zero e a derivada não é finita.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar: para x=1{,}5 temos 2x-3=0, então
f'(1{,}5) = -\frac{2}{\sqrt{1-0^2}} = -2.
Dica de prova: em uma prova, identifique o interno, calcule sua derivada (aqui 2), e aplique imediatamente a fórmula da derivada de \operatorname{arccos}. Não esqueça de checar o intervalo onde a expressão faz sentido.

Resposta

f'(x)=-\frac{2}{\sqrt{\,1-(2x-3)^2\,}},\quad \text{para }1<x<2

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