Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
Determine
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
.
Informações fornecidas e observações importantes:
Informações fornecidas e observações importantes:
- A função é composta: argumento interno
e a função externa . - Domínio da função
: exige-se , ou seja . - O que se pede: calcular
, a derivada em termos de (e indicar onde ela existe).
Passo 2
Lembrete teórico (lias comigo, devagarinho): a derivada da função inversa
é conhecida. Se definirmos
com
sendo uma função de
, então por definição
. Diferenciando implicitamente em relação a
obtemos:
Isolando
vem
Agora usamos que
pode ser escrito em termos de
, porque
. Como
e para
temos
(onde
), então
Substituindo na expressão de
resulta a fórmula da regra da cadeia para
:
Explicação curta: a derivada da externa
dá
e depois multiplica-se pela derivada do interno
(essa multiplicação é a regra da cadeia).
Passo 3
Identificar o interno e calcular sua derivada. Aqui o interno é
A derivada de uma função linear
é
. Logo
Passo 4
Aplicar a fórmula da etapa anterior substituindo
e
. Assim
Este é o resultado algébrico da derivada. Lembre-se que a raiz no denominador exige
para a derivada existir (denominador não pode ser zero).
Passo 5
Determinar onde a derivada existe: a função
está definida em
. A derivada formula apresentada existe quando
, ou seja quando
. Nas extremidades
e
o denominador vira zero e a derivada não é finita.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar: para
temos
, então
Dica de prova: em uma prova, identifique o interno, calcule sua derivada (aqui
), e aplique imediatamente a fórmula da derivada de
. Não esqueça de checar o intervalo onde a expressão faz sentido.