Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
Determine
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
dada por
Informações que temos:
- A função é um polinômio com três termos:
, e . - A pergunta é: determinar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Conceito e regras que vamos usar (explicadas de forma direta e prática).
- A derivada de uma função mede a taxa de variação instantânea da função em relação a
. Formalmente usa-se um limite, mas para polinômios usamos regras prontas. - Regra da linearidade: a derivada de soma/diferença é a soma/diferença das derivadas. Em símbolos:
- Regra do fator constante: um multiplicador constante pode sair da derivada:
onde
é constante.
- Regra do poder (power rule): para um inteiro
,
Exemplo rápido e concreto (justificativa curta para
): usando a definição da derivada,
Essa demonstração para
mostra por que o expoente “desce” e reduz um no expoente.
Passo 3
Aplicar as regras termo a termo.
A função é soma de três termos, então derivamos cada um e somamos:
A função é soma de três termos, então derivamos cada um e somamos:
Passo 4
Derivar cada termo usando as regras citadas.
- Para
: fator constante sai da derivada e aplica-se a regra do poder a :
- Para
: aqui é , então
(Observação:
porque
.)
- Para
: constante tem derivada zero:
Passo 5
Somar os resultados parciais para obter a derivada final:
portanto simplificando,