Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
f(x)=5 x^{2}-4 x+3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função f dada por
f(x)=5x^{2}-4x+3.
Informações que temos:
  • A função é um polinômio com três termos: 5x^{2}, -4x e 3.
  • A pergunta é: determinar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Conceito e regras que vamos usar (explicadas de forma direta e prática).
  • A derivada de uma função mede a taxa de variação instantânea da função em relação a x. Formalmente usa-se um limite, mas para polinômios usamos regras prontas.
  • Regra da linearidade: a derivada de soma/diferença é a soma/diferença das derivadas. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x).
  • Regra do fator constante: um multiplicador constante pode sair da derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot\frac{d}{dx}g(x),
onde c é constante.
  • Regra do poder (power rule): para um inteiro n\ge0,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Exemplo rápido e concreto (justificativa curta para n=2): usando a definição da derivada,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^{2}}{h}=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
Essa demonstração para n=2 mostra por que o expoente “desce” e reduz um no expoente.

Passo 3

Aplicar as regras termo a termo.
A função é soma de três termos, então derivamos cada um e somamos:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}-4x+3\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(4x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(3\bigr).

Passo 4

Derivar cada termo usando as regras citadas.
  • Para 5x^{2}: fator constante 5 sai da derivada e aplica-se a regra do poder a x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}\bigr)=5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=5\cdot(2x)=10x.
  • Para -4x: aqui x é x^{1}, então
\frac{d}{dx}\bigl(-4x\bigr)=-4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=-4\cdot 1=-4.
(Observação: \frac{d}{dx}(x)=1 porque \frac{d}{dx}(x^{1})=1\cdot x^{0}=1.)
  • Para 3: constante tem derivada zero:
\frac{d}{dx}\bigl(3\bigr)=0.

Passo 5

Somar os resultados parciais para obter a derivada final:
f'(x)=10x-4+0,
portanto simplificando,
f'(x)=10x-4.

Resposta

f'(x)=10x-4

Exercícios relacionados