Para encontrar a derivada parcial de uma função f(x, y) com relação a x, basta olhar y como uma constante e diferenciar f(x, y) com relação a x. Sabendo disso, encontre f_{x}(2, 2) da função f(x, y) = x ^ 2 + x * y ^ 2 - 2y , e assinale a alternativa correta:
Alternativa 1:-1
Alternativa 2:2
Alternativa 3:5
Alternativa 4:8
Alternativa 5:16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada parcial da função $ f(x, y) = x^2 + x y^2 - 2y $ em relação a $ x $, que é chamada de $ f_x $. Depois, vamos calcular esse valor no ponto $ (2, 2) $. Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, que envolve tratar $ y $ como uma constante enquanto diferenciamos em relação a $ x $.

Passo 2

Primeiro, lembre que quando a gente faz derivada parcial em relação a $ x $, toda vez que aparecer o $ y $, a gente trata ele como se fosse um número fixo, tipo 2 ou 3, e não como uma variável que muda. Isso facilita na hora de diferenciar.

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo da função $ f(x, y) = x^2 + x y^2 - 2y $ em relação a $ x $:
  1. Derivada de $ x^2 $ em relação a $ x $:
    f(x, y) = x^2 + x y^2 - 2y
  2. Derivada de $ x y^2 $ em relação a $ x $:
    • Aqui, $ y^2 $ é uma constante, então:
    x
  3. Derivada de $ -2y $ em relação a $ x $:
    • Como $ y $ é tratado como constante e não tem $ x $ nessa parte, a derivada é zero:
    x^2
Agora, juntando tudo:
x

Passo 4

Agora vamos calcular $ f_x(2, 2) $. Basta substituir $ x = 2 $ e $ y = 2 $ na expressão que encontramos:
fx(2, 2)

Resposta

A resposta correta é a Alternativa 4: 8.

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