(2,0 pontos) Calcule a integral imprópria abaixo.
\int_{-\infty}^{3} \frac{d x}{(x-4)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{3} \frac{dx}{(x-4)^{2}}.
O conteúdo aqui é integral imprópria em intervalo não limitado à esquerda. Vamos usar a definição
\int_{-\infty}^{3} f(x)\,dx = \lim_{A\to -\infty} \int_{A}^{3} f(x)\,dx,
e o fato de que a antiderivada de \frac{1}{(x-4)^{2}} é -\frac{1}{x-4}.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite:
\int_{-\infty}^{3} \frac{dx}{(x-4)^{2}} = \lim_{A\to -\infty} \int_{A}^{3} \frac{dx}{(x-4)^{2}}.

Passo 3

Calculamos a antiderivada de \frac{1}{(x-4)^{2}}. Como
\frac{d}{dx}\Bigl(-\frac{1}{x-4}\Bigr) = -\bigl(-(x-4)^{-2}\bigr) = \frac{1}{(x-4)^{2}},
temos
\int \frac{dx}{(x-4)^{2}} = -\frac{1}{x-4} + C.

Passo 4

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo à integral de A até 3:
\int_{A}^{3} \frac{dx}{(x-4)^{2}} = \Bigl[-\frac{1}{x-4}\Bigr]_{x=A}^{x=3} = \Bigl(-\frac{1}{3-4}\Bigr) - \Bigl(-\frac{1}{A-4}\Bigr) = 1 + \frac{1}{A-4}.

Passo 5

Fazemos A\to -\infty:
\lim_{A\to -\infty}\Bigl(1 + \frac{1}{A-4}\Bigr) = 1 + 0 = 1.

Resposta

\int_{-\infty}^{3} \frac{dx}{(x-4)^{2}} = 1.

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