(2,0 pontos) Calcular a integral abaixo, empregando o método de frações parciais.
\int \frac{2 x+5}{x^{2}-5 x+4} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2x + 5}{x^2 - 5x + 4}\,dx
usando o método de frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em termos mais simples que sejam fáceis de integrar.
Passo 2
Fatoramos o denominador x^2 - 5x + 4. Buscamos duas raízes r_1 e r_2 tais que
x^2 - 5x + 4 = (x - r_1)(x - r_2).
Como r_1 + r_2 = 5 e r_1 r_2 = 4, vemos que as raízes são r_1 = 1 e r_2 = 4. Logo,
x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4).
Passo 3
Escrevemos a fração como soma de frações parciais: