(2,0 pontos) Calcular a integral abaixo, empregando o método de frações parciais.
\int \frac{2 x+5}{x^{2}-5 x+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2x + 5}{x^2 - 5x + 4}\,dx
usando o método de frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em termos mais simples que sejam fáceis de integrar.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^2 - 5x + 4. Buscamos duas raízes r_1 e r_2 tais que
x^2 - 5x + 4 = (x - r_1)(x - r_2).
Como r_1 + r_2 = 5 e r_1 r_2 = 4, vemos que as raízes são r_1 = 1 e r_2 = 4. Logo,
x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4).

Passo 3

Escrevemos a fração como soma de frações parciais:
\frac{2x + 5}{(x - 1)(x - 4)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 4}.
Multiplicando ambos os lados por (x - 1)(x - 4), obtemos
2x + 5 = A(x - 4) + B(x - 1).

Passo 4

Expandindo e coletando coeficientes em x\): \[A(x - 4) + B(x - 1) = (A + B)\,x + \bigl(-4A - B\bigr).
Comparando com 2x + 5, temos o sistema
\begin{cases} A + B = 2,\\\\ -4A - B = 5. \end{cases}
Da primeira equação (B = 2 - A]. Substituindo na segunda:
-4A - (2 - A) = 5 \quad\Longrightarrow\quad -4A -2 + A = 5 \quad\Longrightarrow\quad -3A = 7 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac{7}{3}.
Então
B = 2 - A = 2 - \bigl(-\tfrac{7}{3}\bigr) = \tfrac{6}{3} + \tfrac{7}{3} = \tfrac{13}{3}.

Passo 5

Substituindo A e B na decomposição e integrando termo a termo:
\int \frac{2x + 5}{(x - 1)(x - 4)}\,dx = \int \Bigl(\frac{-\tfrac{7}{3}}{x - 1} + \frac{\tfrac{13}{3}}{x - 4}\Bigr)\,dx = -\tfrac{7}{3} \int \frac{1}{x - 1}\,dx + \tfrac{13}{3} \int \frac{1}{x - 4}\,dx.
As integrais são logaritmos:
-\tfrac{7}{3} \ln\bigl|x - 1\bigr| + \tfrac{13}{3} \ln\bigl|x - 4\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{2x + 5}{x^2 - 5x + 4}\,dx = -\frac{7}{3}\ln\bigl|x - 1\bigr| + \frac{13}{3}\ln\bigl|x - 4\bigr| + C.

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