Encontrar as derivadas parciais indicadas:
u=\operatorname{tg}^{-1}(x y z w) ; \frac{\partial u}{\partial w}

Passo 1

O enunciado nos dá
u = \tan^{-1}(x\,y\,z\,w)
e pede a derivada parcial \partial u/\partial w. O conteúdo envolvido é derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de produto simples, lembrando que, ao derivar em relação a w, as variáveis x,y,z são tratadas como constantes.

Passo 2

Defina
t = x\,y\,z\,w.
Então u = \tan^{-1}(t). Pela regra da cadeia,
\frac{\partial u}{\partial w} = \frac{du}{dt}\;\frac{\partial t}{\partial w}.

Passo 3

A derivada de u = \tan^{-1}(t) em relação a t é
\frac{du}{dt} = \frac{1}{1 + t^{2}}.

Passo 4

Como t = x\,y\,z\,w e x,y,z são constantes quando derivamos em w, temos
\frac{\partial t}{\partial w} = x\,y\,z.

Passo 5

Substituindo em \partial u/\partial w:
\frac{\partial u}{\partial w} = \frac{1}{1 + t^{2}}\;\bigl(x\,y\,z\bigr) = \frac{x\,y\,z}{1 + (x\,y\,z\,w)^{2}}.

Resposta

\frac{\partial u}{\partial w} = \frac{x\,y\,z}{1 + x^{2}y^{2}z^{2}w^{2}}.

Exercícios relacionados