(2,0 pontos) Calcular a integral abaixo, empregando o método de integraçāo por partes.
\int 5 x^{2} \operatorname{sen}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int 5\,x^{2}\sin(2x)\,dx
usando o método de integração por partes, cujo fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Como há uma constante 5 multiplicando a integral, podemos tirá-la para fora:
\int 5\,x^{2}\sin(2x)\,dx = 5 \int x^{2}\sin(2x)\,dx.

Passo 3

Aplicamos integração por partes em \displaystyle \int x^{2}\sin(2x)\,dx. Escolhemos
u = x^{2},\quad dv = \sin(2x)\,dx,
então
du = 2x\,dx,\quad v = \int \sin(2x)\,dx = -\tfrac12\cos(2x).
Logo,
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = u\,v - \int v\,du = -\tfrac12 x^{2}\cos(2x) - \int\bigl(-\tfrac12\cos(2x)\bigr)\,2x\,dx
= -\tfrac12 x^{2}\cos(2x) + \int x\cos(2x)\,dx.

Passo 4

Agora resolvemos \displaystyle \int x\cos(2x)\,dx por partes de novo. Escolhemos
u = x,\quad dv = \cos(2x)\,dx,
então
du = dx,\quad v = \int \cos(2x)\,dx = \tfrac12\sin(2x).
Assim,
\int x\cos(2x)\,dx = u\,v - \int v\,du = \tfrac12 x\sin(2x) - \int \tfrac12\sin(2x)\,dx
= \tfrac12 x\sin(2x) - \tfrac12\bigl(-\tfrac12\cos(2x)\bigr) = \tfrac12 x\sin(2x) + \tfrac14\cos(2x).

Passo 5

Substituindo de volta em \displaystyle \int x^{2}\sin(2x)\,dx e multiplicando por 5, obtemos
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = -\tfrac12 x^{2}\cos(2x) + \Bigl(\tfrac12 x\sin(2x) + \tfrac14\cos(2x)\Bigr) + C
= -\tfrac12 x^{2}\cos(2x) + \tfrac12 x\sin(2x) + \tfrac14\cos(2x) + C,
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\int 5\,x^{2}\sin(2x)\,dx = 5\Bigl(-\tfrac12 x^{2}\cos(2x) + \tfrac12 x\sin(2x) + \tfrac14\cos(2x)\Bigr) + C.

Resposta

\boxed{-\tfrac{5}{2}\,x^{2}\cos(2x) + \tfrac{5}{2}\,x\sin(2x) + \tfrac{5}{4}\cos(2x) + C.}

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