(2,0 pontos) Calcular a integral abaixo, empregando o método de substituição.
\int 3 x \sqrt[7]{-3+2 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int 3x\sqrt[7]{-3+2x^{2}}\,dx
usando o método de substituição. Vamos identificar uma parte cuja derivada apareça multiplicando e, assim, transformar a integral num caso simples de potência.

Passo 2

Observe que \sqrt[7]{-3+2x^{2}} =(-3+2x^{2})^{1/7}. Fazendo a escolha
u = -3 + 2x^{2},
esperamos que du envolva x\,dx, que está presente na integral original.

Passo 3

Derivando u em relação a x, obtemos
du = 4x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int 3x(-3+2x^{2})^{1/7}\,dx = 3\int x\,u^{1/7}\,dx = 3\int u^{1/7}\,\frac{du}{4} = \frac{3}{4}\int u^{1/7}\,du.

Passo 5

Agora é só integrar a potência de u:
\int u^{1/7}\,du = \frac{u^{1/7+1}}{1/7+1} = \frac{u^{8/7}}{8/7} = \frac{7}{8}\,u^{8/7}.
Logo,
\frac{3}{4}\int u^{1/7}\,du = \frac{3}{4}\cdot\frac{7}{8}\,u^{8/7} = \frac{21}{32}\,u^{8/7}+C.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável x substituindo u = -3+2x^{2}:
\int 3x\sqrt[7]{-3+2x^{2}}\,dx = \frac{21}{32}\,\bigl(-3+2x^{2}\bigr)^{8/7}+C.

Resposta

\frac{21}{32}\,\bigl(-3+2x^{2}\bigr)^{8/7}+C.

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