Encontrar as derivadas parciais de 3^a ordem da função
z=x+y+x^3-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de ordem três da função
z = x + y + x^3 - x^2 - y^2
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais sucessivas em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro obtemos as derivadas parciais de primeira ordem, derivando z em relação a x e a y separadamente:
partial zpartial x = 1 + 3x^2 - 2x,
partial zpartial y = 1 - 2y

Passo 3

Em seguida calculamos as derivadas parciais de segunda ordem, diferenciando novamente as parciais do passo anterior:
partial^2zpartial x^2 = partialpartial xl(1 + 3x^2 - 2xr) = 6x - 2,
partial^2zpartial x,partial y = partialpartial yl(1 + 3x^2 - 2xr) = 0,
partial^2zpartial y^2 = partialpartial yl(1 - 2yr) = -2

Passo 4

Por fim, obtemos as derivadas parciais de terceira ordem, diferenciando as derivadas de segunda ordem:
partial^3zpartial x^3 = partialpartial xl(6x - 2r) = 6,
partial^3zpartial x^2,partial y = partialpartial yl(6x - 2r) = 0,
partial^3zpartial x,partial y^2 = partialpartial xl(-2r) = 0,
partial^3zpartial y^3 = partialpartial yl(-2r) = 0

Resposta

partial^3zpartial x^3 = 6, partial^3zpartial x^2partial y = 0, partial^3zpartial xpartial y^2 = 0, partial^3zpartial y^3 = 0

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