Supondo que as funções diferenciáveis y=y(x) e z=z(x) sejam definidas implicitamente pelo sistema
l x^2+y^2=z x+y=4
determinar:
a) d yd x e d zd x.
b) Um par de funções y=y(x) e z=z(x) definidas implicitamente pelo sistema dado.

Passo 1

O enunciado nos dá duas equações que definem implicitamente funções
O conteúdo é diferenciação implícita: vamos usar a regra da cadeia para derivar cada equação em relação a e .

Passo 2

Diferenciando a primeira equação x^2+y^2=z em relação a x, usando ddx(y^2)=2y,y' e ddx(z)=z', obtemos
2x + 2y,y' = z'
Chamo isso de equação (A).

Passo 3

Diferenciando a segunda equação x+y=4 em relação a x, obtemos
1 + y' = 0
logo
y' = -1

Passo 4

Substituindo y'=-1 em (A), temos
z' = 2x + 2ycdot(-1) = 2x - 2y

Passo 5

Para encontrar um par explícito l(y(x),z(x)r) que satisfaça o sistema, isole y em x+y=4:
y(x) = 4 - x
Em seguida
z(x) = x^2 + l(y(x)r)^2 = x^2 + (4 - x)^2

Resposta

a) dydx = -1 e dzdx = 2x - 2y
b) Um par de funções é
y(x) = 4 - x, z(x) = x^2 + (4 - x)^2

Exercícios relacionados