Exercício 1. Calcule a derivada f^prime(x) :
f(x)=(x^4+3 x^2-2)^5

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(x^4+3x^2-2r)^5
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, que nos diz como derivar uma função composta do tipo v(u(x)).

Passo 2

Identificamos as funções interna e externa:
u(x)=x^4+3x^2-2, v(u)=u^5
Agora calculamos as derivadas de cada uma:
u'(x)=ddxl(x^4+3x^2-2r)=4x^3+6x,
v'(u)=ddul(u^5r)=5u^4

Passo 3

Pela regra da cadeia, a derivada de f(x)=v(u(x)) é
f'(x)=v'l(u(x)r)cdot u'(x)
Substituindo u(x) e u'(x) temos
f'(x)=5l(x^4+3x^2-2r)^4,l(4x^3+6xr)

Passo 4

Podemos fatorar um pouco para simplificar:
4x^3+6x=2x,(2x^2+3),
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f'(x)=5l(x^4+3x^2-2r)^4cdot2x,(2x^2+3) =10x,(2x^2+3),l(x^4+3x^2-2r)^4

Resposta

f'(x)=10x,(2x^2+3),l(x^4+3x^2-2r)^4

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