Exercício 1. Calcule a derivada f^prime(x) :
f(x)=(1x^3-1x)(3 x^3+2 x^2+x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(x^-3-x^-1r),(3x^3+2x^2+x)
O conteúdo é derivação de potências, e para facilitar vamos primeiro expandir o produto antes de derivar termo a termo.

Passo 2

Expandimos o produto multiplicando cada termo de x^-3-x^-1 por cada termo de 3x^3+2x^2+x:
x^-3cdot3x^3&=3, x^-3cdot2x^2&=2x^-1, x^-3cdot x&=x^-2, -x^-1cdot3x^3&=-3x^2, -x^-1cdot2x^2&=-2x, -x^-1cdot x&=-1

Passo 3

Somando tudo e agrupando termos semelhantes, obtemos
f(x)=3+2x^-1+x^-2-3x^2-2x-1 =2+2x^-1+x^-2-2x-3x^2

Passo 4

Agora derivamos cada termo usando tfracddx[a,x^n]=a,n,x^n-1:
ddx[2]&=0, ddx[2x^-1]&=2(-1)x^-2=-2x^-2, ddx[x^-2]&=(-2)x^-3=-2x^-3, ddx[-2x]&=-2, ddx[-3x^2]&=-3cdot2,x^1=-6x
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f'(x)=-2x^-2-2x^-3-2-6x

Resposta

f'(x)=-6x-2-2x^-2-2x^-3

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