Encontrar as derivadas das seguentes funções (F(x)) :
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
Aqui vou interpretar
como a função arco-seno, ou seja
. O que nos foi dado e o que se pede:
- Dado: integrando
no intervalo . - Informação útil:
para todo , e é contínua em . - Pedido: calcular
, a derivada de em função de .
Passo 2
Ferramenta principal (explicada de maneira prática): se
é contínua e
é diferenciável, então a função
é diferenciável e vale
O porquê, em palavras simples: se
muda um pouquinho, o intervalo de integração muda aproximadamente em
, e o incremento da integral é aproximadamente
; dividindo por
e fazendo o limite obtém-se a fórmula acima. Esta é apenas a combinação do Teorema Fundamental do Cálculo (avaliar integrando no limite móvel) com a regra da cadeia.
Passo 3
Identificando no nosso problema:
-
. -
.
Comoé contínua em e é diferenciável, aplicamos a fórmula do passo anterior:
Como
, obtemos
Passo 4
Comentários didáticos e observações úteis para a prova:
- A expressão
não simplifica para em geral: vale somente quando . Fora desse intervalo, é a versão “esticada/reduzida” de para ficar em . - Portanto, numa situação de prova, se o enunciado pede avaliar
para um específico dentro de , pode-se simplificar para . Caso contrário, deixe na forma .
Passo 5
Verificação alternativa (útil para entender por que não há contradição com valores absolutos): calcular explicitamente uma primitiva de
. Sabendo que
temos uma primitiva. Então
Como
e
, segue
Diferenciando essa expressão com cuidado (produto + derivada de
que gera termos com
) obtém-se, após cancelamentos, exatamente
coerente com o resultado do passo 3. Esse cálculo mostra por que, apesar de aparecer
, o resultado final é a forma simples da aplicação do teorema fundamental combinada com a regra da cadeia.