Encontrar as derivadas das seguentes funções (F(x)) :
\int_{0}^{\sin x} \sin ^{-1} t dt.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=\int_{0}^{\sin x} \sin^{-1} t\,dt.
Aqui vou interpretar \sin^{-1} t como a função arco-seno, ou seja \sin^{-1} t=\arcsin(t). O que nos foi dado e o que se pede:
  • Dado: integrando f(t)=\arcsin(t) no intervalo [0,\sin x].
  • Informação útil: \sin x\in[-1,1] para todo x, e \arcsin(t) é contínua em [-1,1].
  • Pedido: calcular F'(x), a derivada de F em função de x.

Passo 2

Ferramenta principal (explicada de maneira prática): se f é contínua e g é diferenciável, então a função
G(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt
é diferenciável e vale
G'(x)=f\big(g(x)\big)\,g'(x).
O porquê, em palavras simples: se x muda um pouquinho, o intervalo de integração muda aproximadamente em g'(x)\Delta x, e o incremento da integral é aproximadamente f(g(x))\cdot(g'(x)\Delta x); dividindo por \Delta x e fazendo o limite obtém-se a fórmula acima. Esta é apenas a combinação do Teorema Fundamental do Cálculo (avaliar integrando no limite móvel) com a regra da cadeia.

Passo 3

Identificando no nosso problema:
  • f(t)=\arcsin(t).
  • g(x)=\sin x.
    Como \arcsin é contínua em [-1,1] e \sin x é diferenciável, aplicamos a fórmula do passo anterior:
F'(x)=\arcsin\big(\sin x\big)\cdot\frac{d}{dx}\big(\sin x\big).
Como \dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, obtemos
F'(x)=\arcsin(\sin x)\,\cos x.

Passo 4

Comentários didáticos e observações úteis para a prova:
  • A expressão \arcsin(\sin x) não simplifica para x em geral: vale \arcsin(\sin x)=x somente quando x\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big]. Fora desse intervalo, \arcsin(\sin x) é a versão “esticada/reduzida” de x para ficar em [-\,\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].
  • Portanto, numa situação de prova, se o enunciado pede avaliar F'(x) para um x específico dentro de \big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big], pode-se simplificar para F'(x)=x\cos x. Caso contrário, deixe na forma \arcsin(\sin x)\cos x.

Passo 5

Verificação alternativa (útil para entender por que não há contradição com valores absolutos): calcular explicitamente uma primitiva de \arcsin t. Sabendo que
\frac{d}{dt}\big(t\arcsin t+\sqrt{1-t^2}\big)=\arcsin t,
temos uma primitiva. Então
F(x)=\left[t\arcsin t+\sqrt{1-t^2}\right]_{0}^{\sin x} = \sin x\cdot\arcsin(\sin x)+\sqrt{1-\sin^2 x}-\big(0\cdot\arcsin 0+\sqrt{1-0}\big).
Como \sqrt{1-\sin^2 x}=|\cos x| e \sqrt{1}=1, segue
F(x)=\sin x\cdot\arcsin(\sin x)+|\cos x|-1.
Diferenciando essa expressão com cuidado (produto + derivada de |\cos x| que gera termos com \operatorname{sign}(\cos x)) obtém-se, após cancelamentos, exatamente
F'(x)=\arcsin(\sin x)\,\cos x,
coerente com o resultado do passo 3. Esse cálculo mostra por que, apesar de aparecer |\cos x|, o resultado final é a forma simples da aplicação do teorema fundamental combinada com a regra da cadeia.

Resposta

\displaystyle F'(x)=\arcsin(\sin x)\,\cos x

Exercícios relacionados