Encontrar as derivadas das seguentes funções (F(x)) :
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada de
Informações dadas:
- O integrando é a função constante
. - Os limites de integração são funções de
: e . - Vou assumir que
e são diferenciáveis (isso é necessário para poder calcular ).
A pergunta concreta: calcular.
Passo 2
Teoria que vamos usar (explicada de forma simples):
- Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada aqui): se
é uma primitiva de (ou seja, ), então
- Regra de Leibniz (caso de limites dependentes de
): para , assumindo contínua e diferenciáveis,
Explicação curta do porquê: escreva
com
e aplique a regra da cadeia para derivar cada termo:
, e igual para
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso:
- Aqui
. Então e .
Pela regra de Leibniz:
Passo 4
Outra forma — talvez ainda mais direta — que ajuda a entender: calcule a integral primeiro (já que o integrando é constante),
Logo, avaliando entre os limites,
Agora derive usando a regra da cadeia e a linearidade da derivada:
As duas abordagens batem e dão a mesma expressão.
Passo 5
Exemplo rápido para fixar (só para praticar): se
e
, então
Fica assim fácil de aplicar na prova: identifique
nos limites e multiplique pelas derivadas dos limites.