Encontrar as derivadas das seguentes funções (F(x)) :
\int_{a(x)}^{b(x)} 7 dt.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} 7\,dt.
Informações dadas:
  • O integrando é a função constante 7.
  • Os limites de integração são funções de x: a(x) e b(x).
  • Vou assumir que a(x) e b(x) são diferenciáveis (isso é necessário para poder calcular F'(x)).
    A pergunta concreta: calcular F'(x).

Passo 2

Teoria que vamos usar (explicada de forma simples):
  • Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada aqui): se G é uma primitiva de f (ou seja, G'(t)=f(t)), então
\int_{u}^{v} f(t)\,dt = G(v)-G(u).
  • Regra de Leibniz (caso de limites dependentes de x): para F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt, assumindo f contínua e u,v diferenciáveis,
F'(x)=f\big(v(x)\big)\,v'(x)-f\big(u(x)\big)\,u'(x).
Explicação curta do porquê: escreva F(x)=G(v(x))-G(u(x)) com G'\!=\!f e aplique a regra da cadeia para derivar cada termo: \dfrac{d}{dx}G(v(x))=G'(v(x))v'(x)=f(v(x))v'(x), e igual para u(x).

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso:
  • Aqui f(t)=7. Então f\big(b(x)\big)=7 e f\big(a(x)\big)=7.
    Pela regra de Leibniz:
F'(x)=7\cdot b'(x)-7\cdot a'(x).

Passo 4

Outra forma — talvez ainda mais direta — que ajuda a entender: calcule a integral primeiro (já que o integrando é constante),
\int 7\,dt = 7t + C.
Logo, avaliando entre os limites,
F(x)=7\,b(x)-7\,a(x)=7\big(b(x)-a(x)\big).
Agora derive usando a regra da cadeia e a linearidade da derivada:
F'(x)=7\big(b'(x)-a'(x)\big).
As duas abordagens batem e dão a mesma expressão.

Passo 5

Exemplo rápido para fixar (só para praticar): se a(x)=x^2 e b(x)=\sin x, então
F'(x)=7\big(b'(x)-a'(x)\big)=7\big(\cos x - 2x\big).
Fica assim fácil de aplicar na prova: identifique f nos limites e multiplique pelas derivadas dos limites.

Resposta

7\big(b'(x)-a'(x)\big)

Exercícios relacionados