Encontrar a função f(x) cujo promedio entre 0 e x é \cos x. Rpta. f(x)=\cos x-x \sin x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a função f(x) tal que o promedio (média) de f entre 0 e x é \cos x. Informações dadas:
  • Para cada x (assumir x próximo a zero e valores onde tudo faz sentido) o promedio entre 0 e x é \cos x.
  • A relação implícita fornecida pelo enunciado é uma igualdade entre uma média (integral) e a função \cos x.

Passo 2

Esclarecendo o que significa “promedio entre 0 e x”: a média aritmética de uma função f no intervalo [0,x] é dada por
\frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t)\,dt,
desde que x\neq0. Portanto a condição do enunciado traduz-se na equação
\frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t)\,dt=\cos x.

Passo 3

Multiplicar ambos os lados por x (válido para x\neq0) deixa a equação numa forma mais conveniente para diferenciar:
\int_{0}^{x} f(t)\,dt = x\cos x.
Aqui se obteve uma igualdade entre uma integral definida com limite superior x e uma função explícita de x.

Passo 4

Usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para derivar o lado esquerdo: se F(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt e f é contínua, então
F'(x)=f(x).
Isto é uma consequência direta do TFC: a derivada da integral com limite superior variável devolve a função integranda avaliada no ponto superior. Logo, ao diferenciar a equação do Passo 3 termo a termo obtemos, no lado esquerdo, f(x).

Passo 5

Agora derivar o lado direito x\cos x. Aplicar a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=\cos x, então
(uv)'=u'v+uv'.
Aqui u'(x)=1 e v'(x)=-\sin x (derivada de \cos x é -\sin x). Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(x\cos x\bigr)=1\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x)=\cos x - x\sin x.

Passo 6

Igualando as derivadas (lado esquerdo pelo TFC e lado direito pela regra do produto) obtemos para todo x onde vale a hipótese:
f(x)=\cos x - x\sin x.
Assim chegamos à expressão buscada.

Passo 7

Verificação no ponto x=0: é bom checar continuidade/compatibilidade no limite. Como \cos 0=1 e \sin 0=0, a fórmula dá f(0)=1. Além disso, \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t)\,dt=f(0)=1, que coincide com \lim_{x\to0}\cos x=1. Portanto não há contradição no ponto 0.

Passo 8

Exemplo rápido para fixar a técnica: se o promedio entre 0 e x fosse \sin x, seguiria a mesma rotina:
\int_{0}^{x} f(t)\,dt=x\sin x\quad\Rightarrow\quad f(x)=\frac{d}{dx}(x\sin x)=\sin x + x\cos x.
Isso reforça a ideia: transformar a média em integral e diferenciar usando TFC + regra do produto.

Resposta

f(x)=\cos x - x\sin x

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