Encontrar a função
cujo promedio entre 0 e
é
. Rpta.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a função
tal que o promedio (média) de
entre
e
é
. Informações dadas:
- Para cada
(assumir próximo a zero e valores onde tudo faz sentido) o promedio entre e é . - A relação implícita fornecida pelo enunciado é uma igualdade entre uma média (integral) e a função
.
Passo 2
Esclarecendo o que significa “promedio entre
e
”: a média aritmética de uma função
no intervalo
é dada por
desde que
. Portanto a condição do enunciado traduz-se na equação
Passo 3
Multiplicar ambos os lados por
(válido para
) deixa a equação numa forma mais conveniente para diferenciar:
Aqui se obteve uma igualdade entre uma integral definida com limite superior
e uma função explícita de
.
Passo 4
Usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para derivar o lado esquerdo: se
e
é contínua, então
Isto é uma consequência direta do TFC: a derivada da integral com limite superior variável devolve a função integranda avaliada no ponto superior. Logo, ao diferenciar a equação do Passo 3 termo a termo obtemos, no lado esquerdo,
.
Passo 5
Agora derivar o lado direito
. Aplicar a regra do produto: se
e
, então
Aqui
e
(derivada de
é
). Portanto
Passo 6
Igualando as derivadas (lado esquerdo pelo TFC e lado direito pela regra do produto) obtemos para todo
onde vale a hipótese:
Assim chegamos à expressão buscada.
Passo 7
Verificação no ponto
: é bom checar continuidade/compatibilidade no limite. Como
e
, a fórmula dá
. Além disso,
, que coincide com
. Portanto não há contradição no ponto
.
Passo 8
Exemplo rápido para fixar a técnica: se o promedio entre
e
fosse
, seguiria a mesma rotina:
Isso reforça a ideia: transformar a média em integral e diferenciar usando TFC + regra do produto.