Encontrar as derivadas das seguentes funções (F(x)) :
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para encontrar a derivada
.
Informações relevantes que vou usar (assumidas do enunciado):
- A função
é integrável e, para garantir derivabilidade das integrais, vou assumir que é contínua em . - O domínio natural para
aqui é ; a derivada que vamos calcular vale de modo clássico para (nos extremos pode-se falar em derivadas laterais).
Passo 2
Ferramenta principal: o Teorema Fundamental do Cálculo (versão prática para derivadas). Ele diz o seguinte, que é muito útil na prova e fácil de entender:
- Se
e é contínua em torno de , então
Explicação didática curta do porquê: considere um pequeno incremento
. Tem-se
Se
é contínua,
varia pouco e a integral sobre um intervalo pequeno é aproximadamente
. Mais formalmente, pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe
tal que
. Ao dividir por
e tomar o limite
,
e obtém-se
.
Passo 3
Regra para integral com limite inferior variável: se
, pode-se escrever
Aplicando o passo anterior à função
obtemos
. Como
, segue que
Também se pode lembrar a fórmula geral de Leibniz para derivada de integral com limites dependentes:
e, no caso
,
, isso dá
.
Passo 4
Agora aplico as regras aos dois termos de
:
- Para
(limite superior variável) a derivada é . - Para
(limite inferior variável) a derivada é .
Somando as derivadas dos termos (sem ainda escrever a resposta final aqui):