Encontrar as derivadas das seguentes funções (F(x)) :
\int_{0}^{x} f(t) dt+\int_{x}^{1} f(t) dt.

Passo 1

O enunciado fornece a função
F(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt+\int_{x}^{1} f(t)\,dt
e pede para encontrar a derivada F'(x).
Informações relevantes que vou usar (assumidas do enunciado):
  • A função f é integrável e, para garantir derivabilidade das integrais, vou assumir que f é contínua em [0,1].
  • O domínio natural para x aqui é 0\le x\le1; a derivada que vamos calcular vale de modo clássico para x\in(0,1) (nos extremos pode-se falar em derivadas laterais).

Passo 2

Ferramenta principal: o Teorema Fundamental do Cálculo (versão prática para derivadas). Ele diz o seguinte, que é muito útil na prova e fácil de entender:
  • Se G(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt e f é contínua em torno de x, então
G'(x)=f(x).
Explicação didática curta do porquê: considere um pequeno incremento h. Tem-se
G(x+h)-G(x)=\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt.
Se f é contínua, f varia pouco e a integral sobre um intervalo pequeno é aproximadamente f(x)\cdot h. Mais formalmente, pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe c\in[x,x+h] tal que \int_x^{x+h} f(t)\,dt=f\text{(c)}h. Ao dividir por h e tomar o limite h\to0, c\to x e obtém-se G'(x)=f(x).

Passo 3

Regra para integral com limite inferior variável: se H(x)=\displaystyle\int_{x}^{b} f(t)\,dt, pode-se escrever
H(x)=-\int_{b}^{x} f(t)\,dt.
Aplicando o passo anterior à função \tilde G(x)=\int_{b}^{x} f(t)\,dt obtemos \tilde G'(x)=f(x). Como H(x)=-\tilde G(x), segue que
H'(x)=-f(x).
Também se pode lembrar a fórmula geral de Leibniz para derivada de integral com limites dependentes:
\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f(b(x))\,b'(x)-f(a(x))\,a'(x),
e, no caso a(x)=x, b(x)=1, isso dá -f(x).

Passo 4

Agora aplico as regras aos dois termos de F(x):
  • Para \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt (limite superior variável) a derivada é f(x).
  • Para \displaystyle\int_{x}^{1} f(t)\,dt (limite inferior variável) a derivada é -f(x).
Somando as derivadas dos termos (sem ainda escrever a resposta final aqui):
f(x)+\bigl(-f(x)\bigr)

Resposta

F'(x)=0\quad\text{para todo }x\in(0,1).

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