Encontrar as derivadas das seguentes funções (F(x)) :
\frac{1}{x} \int_{1}^{x} f(x) dt (Use regra da cadeia)

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\frac{1}{x}\int_{1}^{x} f(t)\,dt.
O que se pede: encontrar a derivada F'(x).
Informações relevantes que vamos usar (assumir que f é contínua no intervalo considerado, o que garante as diferenciações usadas).

Passo 2

Relembre as ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1): se \displaystyle G(x)=\int_{1}^{x} g(t)\,dt e g é contínua, então
G'(x)=g(x).
Aqui t é a variável de integração (uma variável “coringa” ou dummy) e x é a variável externa.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
(uv)'=u'v+uv'.
  • Regra da cadeia / regra do poder (caso simples): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Em particular, para u(x)=x^{-1},
u'(x)=(-1)x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
Vou combinar essas ideias: primeiro trato a integral como uma função G(x), depois aplico produto/quotient rule com 1/x.

Passo 3

Defino a função auxiliar
G(x)=\int_{1}^{x} f(t)\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de G é simplesmente o integrando avaliado em x:
G'(x)=f(x).
Isso significa que a taxa de variação da integral quando a cota superior varia é igual ao valor de f naquele ponto.

Passo 4

Escrevo F(x) como produto:
F(x)=\frac{1}{x}\,G(x)=x^{-1}G(x).
Agora aplico a regra do produto com u(x)=x^{-1} e v(x)=G(x). Temos u'(x)=-x^{-2} (pela regra do poder) e v'(x)=G'(x)=f(x). Assim
F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = (-x^{-2})\,G(x) + x^{-1}\,f(x).

Passo 5

Substituo G(x) pela integral para deixar a expressão explícita:
F'(x) = -\frac{1}{x^{2}}\int_{1}^{x} f(t)\,dt + \frac{f(x)}{x}.
Se preferir uma forma única em fração comum, pode-se escrever
F'(x)=\frac{x\,f(x)-\displaystyle\int_{1}^{x} f(t)\,dt}{x^{2}}.

Passo 6

Exemplo rápido para checar (opcional, só para solidificar a ideia): tome f(t)=t^{2}. Então \int_{1}^{x} t^{2}\,dt=(x^{3}-1)/3 e
F(x)=\frac{1}{x}\cdot\frac{x^{3}-1}{3}=\frac{x^{3}-1}{3x}.
Derivando diretamente dá F'(x)=\dfrac{2x}{3}+\dfrac{1}{3x^{2}}. Aplicando a fórmula obtida:
F'(x)=\frac{f(x)}{x}-\frac{1}{x^{2}}\int_{1}^{x} f(t)\,dt =\frac{x^{2}}{x}-\frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{x^{3}-1}{3} =\frac{2x}{3}+\frac{1}{3x^{2}},
confere com a derivação direta.

Resposta

\displaystyle F'(x)=\frac{f(x)}{x}-\frac{1}{x^{2}}\int_{1}^{x} f(t)\,dt

Exercícios relacionados