Encontrar as derivadas das seguentes funções (F(x)) :
(Use regra da cadeia)
Passo 1
O enunciado dá a função
O que se pede: encontrar a derivada
.
Informações relevantes que vamos usar (assumir que é contínua no intervalo considerado, o que garante as diferenciações usadas).
Informações relevantes que vamos usar (assumir que
Passo 2
Relembre as ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1): se
e é contínua, então
Aqui
é a variável de integração (uma variável “coringa” ou dummy) e
é a variável externa.
- Regra do produto: se
e são diferenciáveis, então
- Regra da cadeia / regra do poder (caso simples): a derivada de
é . Em particular, para ,
Vou combinar essas ideias: primeiro trato a integral como uma função
, depois aplico produto/quotient rule com
.
Passo 3
Defino a função auxiliar
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
é simplesmente o integrando avaliado em
:
Isso significa que a taxa de variação da integral quando a cota superior varia é igual ao valor de
naquele ponto.
Passo 4
Escrevo
como produto:
Agora aplico a regra do produto com
e
. Temos
(pela regra do poder) e
. Assim
Passo 5
Substituo
pela integral para deixar a expressão explícita:
Se preferir uma forma única em fração comum, pode-se escrever
Passo 6
Exemplo rápido para checar (opcional, só para solidificar a ideia): tome
. Então
e
Derivando diretamente dá
. Aplicando a fórmula obtida:
confere com a derivação direta.