Encontrar as derivadas das seguentes funções (F(x)) :
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar as derivadas de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função está escrita como uma integral iterada (uma integral aninhada).
- A notação usa variáveis
(integração interna), (integração intermediária) e (limite superior externo). - Não há indicação explícita sobre regularidade de
, mas para que as derivadas existam de forma clássica é suficiente supor que seja contínua em um intervalo que contenha 0 e .
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a escrita definindo a integral interna como uma nova função. Defina
Assim podemos reescrever
como
Agora o problema ficou mais claro: precisamos calcular
e possivelmente
.
Passo 3
Vou usar uma versão do Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1), que diz o seguinte (explicado com calma):
- Se
for contínua, então a função definida por é diferenciável e
Intuição curta: a derivada mede a taxa de variação; ao aumentar
em um pequeno
, a variação de
é aproximadamente a área sob
no intervalo
, que para
pequeno é aproximadamente
. Formalmente isso vem do quociente incremental que tende a
quando
é contínua.
No nosso caso,
, então aplicando o teorema obtemos diretamente
Passo 4
Agora voltar à expressão de
. Lembre-se que
. Substituindo em
obtemos
Esse é o resultado para a derivada primeira. Note que aqui usamos que
é integrável (mais forte: contínua) para garantir que
seja contínua e a aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo seja válida.
Passo 5
Podemos ir além e calcular a segunda derivada. Diferenciando a expressão obtida para
aplicando novamente o Teorema Fundamental do Cálculo (agora diretamente à integral da forma
), temos, sob a hipótese de
contínua,
Ou seja, a segunda derivada de
é simplesmente
.
Passo 6
Como verificação alternativa (útil na prova): trocar a ordem de integração. A região de integração é
. Trocando a ordem,
Diferenciando essa expressão por
(usando regra de Leibniz para integral com parâmetro):
- Há contribuição da dependência explícita em
no limite superior (que aqui resulta em integrando avaliado em multiplicado por , mas esse termo é zero porque em vale ); - E há contribuição derivando o integrando
em relação a , que é .
Assim obtemos novamente. Essa via é boa para quem gosta de visualizar a região de integração.
Passo 7
Exemplo numérico rapidinho para fixar (se quiser checar): tome
. Então
e
confirmando a regra na prática.