Encontrar as derivadas das seguentes funções (F(x)) :
\int_{0}^{x}[\int_{0}^{t} v(u) du] dt.

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\int_{0}^{x}\Bigl[\int_{0}^{t} v(u)\,du\Bigr]dt
e pede para encontrar as derivadas de F(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está escrita como uma integral iterada (uma integral aninhada).
  • A notação usa variáveis u (integração interna), t (integração intermediária) e x (limite superior externo).
  • Não há indicação explícita sobre regularidade de v, mas para que as derivadas existam de forma clássica é suficiente supor que v seja contínua em um intervalo que contenha 0 e x.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a escrita definindo a integral interna como uma nova função. Defina
G(t)=\int_{0}^{t} v(u)\,du.
Assim podemos reescrever F como
F(x)=\int_{0}^{x} G(t)\,dt.
Agora o problema ficou mais claro: precisamos calcular \dfrac{d}{dx}F(x) e possivelmente \dfrac{d^2}{dx^2}F(x).

Passo 3

Vou usar uma versão do Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1), que diz o seguinte (explicado com calma):
  • Se G for contínua, então a função definida por H(x)=\int_{a}^{x} G(t)\,dt é diferenciável e
H'(x)=G(x).
Intuição curta: a derivada mede a taxa de variação; ao aumentar x em um pequeno h, a variação de H é aproximadamente a área sob G no intervalo [x,x+h], que para h pequeno é aproximadamente G(x)\cdot h. Formalmente isso vem do quociente incremental que tende a G(x) quando G é contínua.
No nosso caso, F(x)=\int_{0}^{x} G(t)\,dt, então aplicando o teorema obtemos diretamente
F'(x)=G(x).

Passo 4

Agora voltar à expressão de G. Lembre-se que G(t)=\int_{0}^{t} v(u)\,du. Substituindo em F'(x)=G(x) obtemos
F'(x)=\int_{0}^{x} v(u)\,du.
Esse é o resultado para a derivada primeira. Note que aqui usamos que v é integrável (mais forte: contínua) para garantir que G seja contínua e a aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo seja válida.

Passo 5

Podemos ir além e calcular a segunda derivada. Diferenciando a expressão obtida para F'(x) aplicando novamente o Teorema Fundamental do Cálculo (agora diretamente à integral da forma \int_{0}^{x} v(u)\,du), temos, sob a hipótese de v contínua,
F''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\int_{0}^{x} v(u)\,du\right)=v(x).
Ou seja, a segunda derivada de F é simplesmente v.

Passo 6

Como verificação alternativa (útil na prova): trocar a ordem de integração. A região de integração é \{(u,t)\mid 0\le u\le t\le x\}. Trocando a ordem,
F(x)=\int_{0}^{x}\int_{0}^{t} v(u)\,du\,dt=\int_{0}^{x}\int_{u}^{x} dt\;v(u)\,du=\int_{0}^{x} (x-u)\,v(u)\,du.
Diferenciando essa expressão por x (usando regra de Leibniz para integral com parâmetro):
  • Há contribuição da dependência explícita em x no limite superior (que aqui resulta em integrando avaliado em u=x multiplicado por 1, mas esse termo é zero porque (x-u) em u=x vale 0);
  • E há contribuição derivando o integrando (x-u)v(u) em relação a x, que é \int_{0}^{x} v(u)\,du.
    Assim obtemos novamente F'(x)=\int_{0}^{x} v(u)\,du. Essa via é boa para quem gosta de visualizar a região de integração.

Passo 7

Exemplo numérico rapidinho para fixar (se quiser checar): tome v(u)=u^{2}. Então
F'(x)=\int_{0}^{x} u^{2}\,du=\left[\tfrac{1}{3}u^{3}\right]_{0}^{x}=\tfrac{1}{3}x^{3},
e
F''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{3}x^{3}\right)=x^{2}=v(x),
confirmando a regra na prática.

Resposta

\displaystyle F'(x)=\int_{0}^{x} v(u)\,du
\displaystyle F''(x)=v(x)

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