Encontrar as derivadas das seguentes funções (F(x)) :
\int_{1}^{x} \cos ^{2} t dt

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\int_{1}^{x}\cos^{2}t\,dt
e pede para encontrar a(s) derivada(s) de F. Informações relevantes:
  • A integral é propriamente definida com limite inferior fixo 1 e limite superior variável x.
  • O integrando é \cos^{2}t.
  • Quer-se F'(x), a derivada de F em relação a x.

Passo 2

Lembrete (Teorema Fundamental do Cálculo, versão usada aqui). Se
G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
com f contínua, então
G'(x)=f(x).
Intuição rápida: para um pequeno incremento h,
G(x+h)-G(x)=\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt\approx f(x)\,h,
logo \dfrac{G(x+h)-G(x)}{h}\approx f(x) e, ao limitar h\to0, obtemos G'(x)=f(x).

Passo 3

Aplicando o teorema ao problema: aqui f(t)=\cos^{2}t. Portanto, diretamente,
F'(x)=\cos^{2}x.
Essa já é a resposta direta e a forma mais rápida na prova.

Passo 4

Para reforçar (verificação e prática de cálculo): podemos calcular F(x) explicitamente e depois derivar para confirmar. Use a identidade trigonométrica
\cos^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2}.
Então
F(x)=\int_{1}^{x}\cos^{2}t\,dt=\int_{1}^{x}\frac{1+\cos 2t}{2}\,dt.
Separe e integre termo a termo:
F(x)=\frac{1}{2}\int_{1}^{x}1\,dt+\frac{1}{2}\int_{1}^{x}\frac{\cos 2t}{1}\,dt.
Calcule cada integral:
\frac{1}{2}\int_{1}^{x}1\,dt=\frac{1}{2}(x-1),
\frac{1}{2}\int_{1}^{x}\cos 2t\,dt=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\sin 2t}{2}\right)\Bigg|_{t=1}^{t=x}=\frac{1}{4}\big(\sin 2x-\sin 2\big).
Portanto
F(x)=\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{4}\big(\sin 2x-\sin 2\big).

Passo 5

Agora derive F(x) obtido explicitamente para confirmar:
F'(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{4}\big(\sin 2x-\sin 2\big)\right] =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot(2\cos 2x).
Simplificando,
F'(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x=\frac{1+\cos 2x}{2}.
Usando novamente a identidade \cos^{2}x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}, obtemos
F'(x)=\cos^{2}x,
o que coincide com o resultado do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 6

Dica prática para a prova: quando o limite superior for uma função g(x), isto é, H(x)=\int_{1}^{g(x)} f(t)\,dt, então use a regra da cadeia:
H'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).
Exemplo rápido: se H(x)=\int_{1}^{x^{2}}\cos^{2}t\,dt então
H'(x)=\cos^{2}(x^{2})\cdot 2x.

Resposta

\cos^{2}x

Exercícios relacionados