Nos exercícios abaixo, encontre e classifique os pontos críticos das funções.
3. f(x, y)=6 x y-x^{3}-y^{3}+4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar e classificar os pontos críticos da função f(x,y)=6xy-x^{3}-y^{3}+4.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=6xy-x^{3}-y^{3}+4.
  • Precisa-se:
    1. Encontrar todos os pontos críticos — ou seja, os pontos (x,y) onde o gradiente é nulo.
    2. Classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 2

O que é ponto crítico e como achar: um ponto crítico ocorre quando as derivadas parciais primeiras forem simultaneamente zero. O conjunto das derivadas parciais formam o gradiente \nabla f. Então devemos calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} e resolver o sistema \nabla f=(0,0).
Explicando derivadas parciais (rápido e direto): \dfrac{\partial f}{\partial x} distingue y como constante e deriva em relação a x; análogo para \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f.
\frac{\partial f}{\partial x}=6y-3x^{2}.
\frac{\partial f}{\partial y}=6x-3y^{2}.
Expliquei: a derivada de 6xy em relação a x é 6y (porque y é tratado como constante), e a derivada de -x^{3} é -3x^{2}. Mesma ideia para \partial f/\partial y.

Passo 4

Formar o sistema \nabla f=(0,0) e simplificar:
6y-3x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad 2y-x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad y=\frac{x^{2}}{2}.
6x-3y^{2}=0\quad\Rightarrow\quad 2x-y^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{y^{2}}{2}.
Agora resolvemos o sistema composto por y=\dfrac{x^{2}}{2} e x=\dfrac{y^{2}}{2}.

Passo 5

Resolver o sistema por substituição. Substituo y=\dfrac{x^{2}}{2} em x=\dfrac{y^{2}}{2}:
x=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{x^{4}}{8}.
Isolar tudo num lado:
\frac{x^{4}}{8}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x\left(\frac{x^{3}}{8}-1\right)=0.
Logo as soluções reais são:
x=0 \quad\text{ou}\quad \frac{x^{3}}{8}=1 \Rightarrow x^{3}=8 \Rightarrow x=2.
Para cada x encontramos y=\dfrac{x^{2}}{2}:
  • Se x=0, então y=0, ponto crítico \left(0,0\right).
  • Se x=2, então y=\dfrac{2^{2}}{2}=\dfrac{4}{2}=2, ponto crítico \left(2,2\right).
Portanto os pontos críticos reais são \left(0,0\right) e \left(2,2\right).

Passo 6

Agora vamos classificar usando o teste da segunda derivada (Hessiano). Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=f_{xx}=-6x,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=f_{yy}=-6y,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=f_{xy}=6.
Explicando o teste: definimos o determinante do Hessiano em um ponto (a,b) como
D(a,b)=f_{xx}(a,b)\,f_{yy}(a,b)-\bigl(f_{xy}(a,b)\bigr)^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}>0: mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0: máximo local.
  • Se D<0: ponto de sela.
  • Se D=0: teste inconclusivo.

Passo 7

Avaliar D e f_{xx} em cada ponto crítico.
Para \left(0,0\right):
f_{xx}(0,0)=-6\cdot 0=0,
f_{yy}(0,0)=-6\cdot 0=0,
f_{xy}(0,0)=6.
Então
D(0,0)=0\cdot 0 - 6^{2}=-36<0.
Como D(0,0)<0, o ponto \left(0,0\right) é um ponto de sela.
Para \left(2,2\right):
f_{xx}(2,2)=-6\cdot 2=-12,
f_{yy}(2,2)=-6\cdot 2=-12,
f_{xy}(2,2)=6.
Então
D(2,2)=(-12)\cdot(-12)-6^{2}=144-36=108>0.
Como D(2,2)>0 e f_{xx}(2,2)=-12<0, pelo teste temos um máximo local em \left(2,2\right).

Passo 8

Como informação adicional (útil para interpretarmos a função), é bom ver os valores de f nos pontos críticos:
f(0,0)=6\cdot 0\cdot 0-0-0+4=4,
f(2,2)=6\cdot 2\cdot 2-2^{3}-2^{3}+4=24-8-8+4=12.
Isso confirma que em \left(2,2\right) a função assume um valor maior do que em \left(0,0\right), coerente com \left(2,2\right) ser máximo local (dentro da vizinhança).

Resposta

(0,0) — ponto de sela
(2,2) — máximo local

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