Nos exercícios abaixo, encontre e classifique os pontos críticos das funções.
3.
3.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar e classificar os pontos críticos da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Precisa-se:
- Encontrar todos os pontos críticos — ou seja, os pontos
onde o gradiente é nulo. - Classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
- Encontrar todos os pontos críticos — ou seja, os pontos
Passo 2
O que é ponto crítico e como achar: um ponto crítico ocorre quando as derivadas parciais primeiras forem simultaneamente zero. O conjunto das derivadas parciais formam o gradiente
. Então devemos calcular as derivadas parciais
e
e resolver o sistema
.
Explicando derivadas parciais (rápido e direto):
distingue
como constante e deriva em relação a
; análogo para
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Expliquei: a derivada de
em relação a
é
(porque
é tratado como constante), e a derivada de
é
. Mesma ideia para
.
Passo 4
Formar o sistema
e simplificar:
Agora resolvemos o sistema composto por
e
.
Passo 5
Resolver o sistema por substituição. Substituo
em
:
Isolar tudo num lado:
Logo as soluções reais são:
Para cada
encontramos
:
- Se
, então , ponto crítico . - Se
, então , ponto crítico .
Portanto os pontos críticos reais são
e
.
Passo 6
Agora vamos classificar usando o teste da segunda derivada (Hessiano). Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
Explicando o teste: definimos o determinante do Hessiano em um ponto
como
- Se
e : mínimo local. - Se
e : máximo local. - Se
: ponto de sela. - Se
: teste inconclusivo.
Passo 7
Avaliar
e
em cada ponto crítico.
Para
:
Então
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Para
:
Então
Como
e
, pelo teste temos um máximo local em
.
Passo 8
Como informação adicional (útil para interpretarmos a função), é bom ver os valores de
nos pontos críticos:
Isso confirma que em
a função assume um valor maior do que em
, coerente com
ser máximo local (dentro da vizinhança).