Encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial dado.
\vec{f}(x, y, z)=\left(x^{2}, y z, z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{f}(x,y,z)=\left(x^{2},\,y z,\,z^{2}\right) e pede duas coisas: encontrar a divergência e encontrar o rotacional desse campo.
Informações relevantes fornecidas:
\vec{f} tem componentes \;f_{1}(x,y,z)=x^{2},\;f_{2}(x,y,z)=y z,\;f_{3}(x,y,z)=z^{2}.

Passo 2

Vamos revisar o que são divergência e rotacional (aulas rápidas antes de fazer as contas).
A divergência de um campo vetorial \vec{f}=(f_{1},f_{2},f_{3}) é a aplicação do operador nabla \nabla em forma de produto escalar com \vec{f}:
\nabla\cdot\vec{f}=\frac{\partial f_{1}}{\partial x}+\frac{\partial f_{2}}{\partial y}+\frac{\partial f_{3}}{\partial z}.
Aqui \frac{\partial f_{1}}{\partial x} significa "derivar f_{1} em relação a x", tratando y e z como constantes. O mesmo vale para as outras derivadas parciais.
O rotacional de \vec{f} (ou curl) é um vetor dado por
\nabla\times\vec{f}=\left(\frac{\partial f_{3}}{\partial y}-\frac{\partial f_{2}}{\partial z},\;\frac{\partial f_{1}}{\partial z}-\frac{\partial f_{3}}{\partial x},\;\frac{\partial f_{2}}{\partial x}-\frac{\partial f_{1}}{\partial y}\right).
Cada componente é uma diferença de derivadas parciais: por exemplo, a primeira componente compara como f_{3} muda em y com como f_{2} muda em z.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que entram na divergência.
Derivando \;f_{1}(x,y,z)=x^{2} em relação a x:
\frac{\partial f_{1}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}x^{2}=2x.
Derivando \;f_{2}(x,y,z)=y z em relação a y:
\frac{\partial f_{2}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y z)=z,
porque z é tratado como constante e a derivada de y é 1.
Derivando \;f_{3}(x,y,z)=z^{2} em relação a z:
\frac{\partial f_{3}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}z^{2}=2z.

Passo 4

Somar as derivadas para obter a divergência, seguindo a fórmula do Passo 2:
\nabla\cdot\vec{f}=\frac{\partial f_{1}}{\partial x}+\frac{\partial f_{2}}{\partial y}+\frac{\partial f_{3}}{\partial z}=2x+z+2z.
Simplificando:
\nabla\cdot\vec{f}=2x+3z.

Passo 5

Agora calculamos o rotacional. Precisamos das derivadas parciais presentes nas componentes do rotacional; calculamos uma a uma com cuidado.
Primeira componente:
\frac{\partial f_{3}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}z^{2}=0
pois z^{2} não depende de y.
\frac{\partial f_{2}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(y z)=y,
porque y é constante e a derivada de z em relação a z é 1.
Logo a primeira componente é
\frac{\partial f_{3}}{\partial y}-\frac{\partial f_{2}}{\partial z}=0-y=-y.

Passo 6

Segunda componente do rotacional:
\frac{\partial f_{1}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}x^{2}=0
pois x^{2} não depende de z.
\frac{\partial f_{3}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}z^{2}=0
pois z^{2} não depende de x.
Portanto a segunda componente é
\frac{\partial f_{1}}{\partial z}-\frac{\partial f_{3}}{\partial x}=0-0=0.

Passo 7

Terceira componente do rotacional:
\frac{\partial f_{2}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y z)=0
pois y z não depende de x.
\frac{\partial f_{1}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}x^{2}=0
pois x^{2} não depende de y.
Logo a terceira componente é
\frac{\partial f_{2}}{\partial x}-\frac{\partial f_{1}}{\partial y}=0-0=0.

Passo 8

Reunindo as componentes calculadas nos Passos 5 a 7:
\displaystyle \nabla\times\vec{f}=(-y,\,0,\,0).
Isso significa que o campo tem um rotacional não nulo apenas na direção x, com intensidade -y.

Resposta

Divergência: \nabla\cdot\vec{f}=2x+3z
Rotacional: \nabla\times\vec{f}=(-y,0,0)

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