Encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial dado.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas: encontrar a divergência e encontrar o rotacional desse campo.
Informações relevantes fornecidas:
tem componentes
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos revisar o que são divergência e rotacional (aulas rápidas antes de fazer as contas).
A divergência de um campo vetorial
é a aplicação do operador nabla
em forma de produto escalar com
:
Aqui
significa "derivar
em relação a
", tratando
e
como constantes. O mesmo vale para as outras derivadas parciais.
O rotacional de
(ou curl) é um vetor dado por
Cada componente é uma diferença de derivadas parciais: por exemplo, a primeira componente compara como
muda em
com como
muda em
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que entram na divergência.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
porque
é tratado como constante e a derivada de
é
.
Derivando em relação a
:
Derivando
Passo 4
Somar as derivadas para obter a divergência, seguindo a fórmula do Passo 2:
Simplificando:
Passo 5
Agora calculamos o rotacional. Precisamos das derivadas parciais presentes nas componentes do rotacional; calculamos uma a uma com cuidado.
Primeira componente:
pois
não depende de
.
porque
é constante e a derivada de
em relação a
é
.
Logo a primeira componente é
Logo a primeira componente é
Passo 6
Segunda componente do rotacional:
pois
não depende de
.
pois
não depende de
.
Portanto a segunda componente é
Portanto a segunda componente é
Passo 7
Terceira componente do rotacional:
pois
não depende de
.
pois
não depende de
.
Logo a terceira componente é
Logo a terceira componente é
Passo 8
Reunindo as componentes calculadas nos Passos 5 a 7:
Isso significa que o campo tem um rotacional não nulo apenas na direção
, com intensidade
.
Resposta
Divergência:
Rotacional: