Dado o campo vetorial \vec{f}, calcular \operatorname{div} \vec{f}.
\vec{f}(x, y, z)=2 x^{2} y z^{2} \vec{i}+3 x y z \vec{j}+ y^{2} z \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \operatorname{div}\vec{f}. As informações dadas são as componentes do campo vetorial:
\vec{f}(x,y,z)=2 x^{2} y z^{2}\,\vec{i}+3 x y z\,\vec{j}+y^{2} z\,\vec{k}.
Portanto a tarefa é obter a soma das derivadas parciais adequadas das três componentes (uma pergunta só: calcular \operatorname{div}\vec{f}).

Passo 2

Vou recordar a definição que precisamos usar: a divergência de um campo vetorial \vec{f}=(f_{1},f_{2},f_{3}) é dada por
\operatorname{div}\vec{f}=\frac{\partial f_{1}}{\partial x}+\frac{\partial f_{2}}{\partial y}+\frac{\partial f_{3}}{\partial z}.
Aqui f_{1},f_{2},f_{3} são as componentes do vetor nas direções \vec{i},\vec{j},\vec{k} respectivamente; e \partial/\partial x, \partial/\partial y, \partial/\partial z são derivadas parciais que tratam as outras variáveis como constantes.

Passo 3

Identifico explicitamente as componentes do campo:
f_{1}(x,y,z)=2 x^{2} y z^{2},
f_{2}(x,y,z)=3 x y z,
f_{3}(x,y,z)=y^{2} z.
A partir daí vou calcular cada derivada parcial pedida pela fórmula da divergência.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x}. Aqui f_{1}(x,y,z)=2 x^{2} y z^{2}. Ao derivar em relação a x tratamos y e z como constantes. Usamos a regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x. Então
\frac{\partial f_{1}}{\partial x}=2\cdot(2x)\cdot y\cdot z^{2}=4 x y z^{2}.
Explicando devagar: o fator 2 multiplicativo fica, derivamos x^{2} dando 2x, e multiplicamos pelos fatores constantes y e z^{2}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f_{2}}{\partial y}. Aqui f_{2}(x,y,z)=3 x y z. Ao derivar em relação a y tratamos x e z como constantes; a derivada de y é 1. Logo
\frac{\partial f_{2}}{\partial y}=3 x z.
Em palavras: o produto 3xz é constante em relação a y, então sobra apenas 3xz.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial f_{3}}{\partial z}. Aqui f_{3}(x,y,z)=y^{2} z. Ao derivar em relação a z tratamos y como constante; a derivada de z é 1. Logo
\frac{\partial f_{3}}{\partial z}=y^{2}.
Ou seja, y^{2} age como coeficiente constante e permanece.

Passo 7

Somar as três derivadas parciais conforme a definição da divergência:
\operatorname{div}\vec{f}=\frac{\partial f_{1}}{\partial x}+\frac{\partial f_{2}}{\partial y}+\frac{\partial f_{3}}{\partial z}=4 x y z^{2}+3 x z+y^{2}.
Posso, se quiser, verificar dimensões algébricas: cada termo é coerente com as variáveis; também poderia fatorar x z nos dois primeiros termos, obtendo x z(4 y z+3)+y^{2}, mas a forma expandida é suficiente e clara para a prova.

Resposta

4 x y z^{2}+3 x z+y^{2}

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