Dado o campo vetorial
, calcular
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. As informações dadas são as componentes do campo vetorial:
Portanto a tarefa é obter a soma das derivadas parciais adequadas das três componentes (uma pergunta só: calcular
).
Passo 2
Vou recordar a definição que precisamos usar: a divergência de um campo vetorial
é dada por
Aqui
são as componentes do vetor nas direções
respectivamente; e
,
,
são derivadas parciais que tratam as outras variáveis como constantes.
Passo 3
Identifico explicitamente as componentes do campo:
A partir daí vou calcular cada derivada parcial pedida pela fórmula da divergência.
Passo 4
Calcular
. Aqui
. Ao derivar em relação a
tratamos
e
como constantes. Usamos a regra da potência:
. Então
Explicando devagar: o fator
multiplicativo fica, derivamos
dando
, e multiplicamos pelos fatores constantes
e
.
Passo 5
Calcular
. Aqui
. Ao derivar em relação a
tratamos
e
como constantes; a derivada de
é
. Logo
Em palavras: o produto
é constante em relação a
, então sobra apenas
.
Passo 6
Calcular
. Aqui
. Ao derivar em relação a
tratamos
como constante; a derivada de
é
. Logo
Ou seja,
age como coeficiente constante e permanece.
Passo 7
Somar as três derivadas parciais conforme a definição da divergência:
Posso, se quiser, verificar dimensões algébricas: cada termo é coerente com as variáveis; também poderia fatorar
nos dois primeiros termos, obtendo
, mas a forma expandida é suficiente e clara para a prova.