Encontrar uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral seja:
y=C1 e^-2 t+C2 t e^-2 t+C3 t^2 e^-2 t+C4 t^3 e^-2 t+ C5 t^4 e^-2 t+C6 t^5 e^-2 t

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral seja
y=C1e^-2t+C2t,e^-2t+C3t^2e^-2t+C4t^3e^-2t+C5t^4e^-2t+C6t^5e^-2t
O conteúdo é a relação entre raízes múltiplas da equação característica e termos t^ke^rt na solução.

Passo 2

Em uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, se a equação característica
p(r)=0
tem uma raiz r=r0 de multiplicidade m, então na solução geral aparecem os m termos
e^r0t,;t,e^r0t,;dots,;t^m-1e^r0t

Passo 3

Comparando com a solução dada, todos os termos são da forma t^ke^-2t para k=0,1,dots,5. Logo a raiz da característica é
r0=-2
com multiplicidade m=6.

Passo 4

A equação característica é
(r+2)^6=0
O operador diferencial correspondente é D=tfracddt, então basta trocar r por D:
(D+2)^6y=0

Passo 5

Se quisermos o polinômio expandido em D, usamos a expansão binomial:
(D+2)^6 = D^6 + 6cdot2,D^5 + 15cdot2^2D^4 + 20cdot2^3D^3 + 15cdot2^4D^2 + 6cdot2^5D + 2^6,
ou seja
D^6 + 12,D^5 + 60,D^4 + 160,D^3 + 240,D^2 + 192,D + 64

Resposta

A equação diferencial procurada é
(D+2)^6y=0,
ou, de forma expandida,
y^(6) + 12,y^(5) + 60,y^(4) + 160,y''' + 240,y'' + 192,y' + 64,y = 0

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