Encontrar uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral seja:
Passo 1
O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral seja
O conteúdo é a relação entre raízes múltiplas da equação característica e termos
na solução.
Passo 2
Em uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, se a equação característica
tem uma raiz
de multiplicidade
, então na solução geral aparecem os
termos
Passo 3
Comparando com a solução dada, todos os termos são da forma
para
. Logo a raiz da característica é
com multiplicidade
.
Passo 4
A equação característica é
O operador diferencial correspondente é
, então basta trocar
por
:
Passo 5
Se quisermos o polinômio expandido em
, usamos a expansão binomial:
ou seja
Resposta
A equação diferencial procurada é
ou, de forma expandida,