Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=(e^x^2+4)^raizx

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(e^x^2+4r)^raizx
O conteúdo principal é a diferenciação de uma potência em que tanto a base u(x)=e^x^2+4 quanto o expoente v(x)=raizx dependem de x. Para isso vamos usar diferenciação logarítmica, que transforma potência em produto e facilita a aplicação da regra do produto e da cadeia.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural nos dois lados para “descer” o expoente:
ln f(x) = raizx,lnl(e^x^2+4r)

Passo 3

Definimos
u(x)=e^x^2+4, v(x)=raizx=x^1/2,
e calculamos as derivadas
u'(x)=ddx(e^x^2+4)=2x,e^x^2, v'(x)=ddx(x^1/2)=12raizx

Passo 4

Diferenciando implicitamente ln f(x) fazemos
f'(x)f(x) =ddxl[raizx,ln u(x)r] =v'(x),ln u(x)+v(x),u'(x)u(x)
Substituindo u,v,u',v' e isolando f'(x), obtemos
f'(x) =f(x)l(ln u(x)2raizx+raizx,2x,e^x^2u(x)r)
E lembrando u(x)=e^x^2+4 e f(x)=(e^x^2+4)^raizx, chega-se à forma final.

Resposta

f'(x) =(e^x^2+4)^raizxl(ln(e^x^2+4)2raizx +2x,e^x^2,raizxe^x^2+4r)

Exercícios relacionados