Questão 5. Quantas retas tangentes ao gráfico de y=x^3-3 x são paralelas à reta y=6 x+1 ? Determine as equações dessas retas tangentes.

Passo 1

O enunciado pede o número de retas tangentes ao gráfico de y=x^3-3x que são paralelas à reta y=6x+1 e quer as suas equações. Para isso vamos usar o conceito de derivada para obter a inclinação da reta tangente e depois igualar essa inclinação a 6 (coeficiente angular da reta dada).

Passo 2

Calculamos a derivada de y=x^3-3x para achar a inclinação da tangente em qualquer ponto:
y' = ddxl(x^3-3xr) =3x^2-3

Passo 3

Como queremos retas tangentes paralelas a y=6x+1, igualamos a derivada a 6:
3x^2-3 = 6 Longrightarrow 3x^2 = 9 Longrightarrow x^2 = 3 Longrightarrow x = pm raiz3

Passo 4

Agora calculamos o valor de y nesses pontos:
Para x = raiz3:
y = (raiz3)^3-3,raiz3 =3raiz3-3raiz3=0
Para x = -raiz3:
y = (-raiz3)^3-3(-raiz3) =-3raiz3+3raiz3=0
Logo os pontos de tangência são l(raiz3,0r) e l(-raiz3,0r).

Passo 5

A equação da reta tangente que passa por (x0,y0) com inclinação m é
y-y0=m,(x-x0)
Aqui m=6 e y0=0, então para x0=raiz3:
y = 6l(x-raiz3r) ;Longrightarrow; y = 6x - 6raiz3,
e para x0=-raiz3:
y = 6l(x+ raiz3r) ;Longrightarrow; y = 6x + 6raiz3

Resposta

Existem duas retas tangentes paralelas a y=6x+1, dadas por:
y = 6x - 6raiz3,
y = 6x + 6raiz3

Exercícios relacionados