Encontrar uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral seja:
y=c1 cosh 7 x+c2 senh 7 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes cuja solução geral seja
y = c1cosh(7x) + c2sinh(7x)
Isso envolve usar o método do polinômio característico para EDOs de 2.º grau com coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial genérica de 2.º ordem homogênea com coeficientes constantes:
y'' + ay' + by = 0
O próximo passo é formar sua equação característica, que é
r^2 + ar + b = 0

Passo 3

Como a solução dada envolve apenas cosh(7x) e sinh(7x), sabemos que as raízes do característico devem ser reais e simétricas:
r = 7, r = -7
Logo o polinômio característico é
r^2 - 49 = 0

Passo 4

Da equação r^2-49=0 identificamos que
a = 0, b = -49
Portanto, a equação diferencial correspondente é
y'' - 49,y = 0

Resposta

A equação diferencial procurada é
y'' - 49,y = 0

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