Encontrar uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral seja:
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes cuja solução geral seja
Isso envolve usar o método do polinômio característico para EDOs de 2.º grau com coeficientes constantes.
Passo 2
Escrevemos a equação diferencial genérica de 2.º ordem homogênea com coeficientes constantes:
O próximo passo é formar sua equação característica, que é
Passo 3
Como a solução dada envolve apenas
e
, sabemos que as raízes do característico devem ser reais e simétricas:
Logo o polinômio característico é
Passo 4
Da equação
identificamos que
Portanto, a equação diferencial correspondente é
Resposta
A equação diferencial procurada é