Encontrar uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral seja:
y=c1+c2 x+c3 e^8 x

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes cuja solução geral seja
y = c1 + c2x + c3e^8x
O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares homogêneas de ordem n com coeficientes constantes, onde a solução geral vem de combinar funções da forma e^rx e, em caso de raízes múltiplas, também de x^ke^rx.

Passo 2

Para interpretar a solução dada, note que as três funções independentes são
;1,;x e ;e^8x.
As duas primeiras correspondem a uma raiz r=0 de multiplicidade 2 (pois geram e^0x=1 e x,e^0x=x), e a terceira a uma raiz simples r=8.

Passo 3

O polinômio característico que tem raiz 0 de ordem 2 e raiz 8 simples é
r^2(r-8)=0 Longrightarrow r^3-8r^2=0

Passo 4

Associando o polinômio característico à equação diferencial, substituímos r^k por a derivada y^(k). Assim, a equação diferencia l é
y''' - 8y'' = 0

Resposta

A equação diferencial procurada é
y''' - 8y'' = 0

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