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Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= 1 - x, & x <= 0, e^-x, & x > 0,
e pede f'(x). Vamos usar regra de derivação de funções elementares em cada ramo e depois verificar a derivabilidade em x=0.

Passo 2

Para x<0 a função é f(x)=1-x. Aplicando a derivada de uma reta, obtemos
f'(x) = -1, x<0

Passo 3

Para x>0 a função é f(x)=e^-x. Usando a regra da cadeia, temos
f'(x)=e^-xcdot(-1)=-e^-x, x>0

Passo 4

Em x=0 calculamos as derivadas laterais:
f'-(0)=limhto0^-f(0+h)-f(0)h =limhto0^-(1-(0+h))-(1-0)h =-1,
f'+(0)=limhto0^+e^-(0+h)-e^0h =limhto0^+e^-h-1h =-1
Como f'-(0)=f'+(0)=-1, a derivada existe em 0 e vale -1.

Resposta

f'(x)= -1, & x<= 0, -e^-x, & x>0

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