Encontrar a equação geral para o volume do cilindro levando em consideração os erros (ou desvios) das medidas. Nota: O volume matemático de um cilindro é dado por
, onde
é o diâmetro e
é a altura. Considerar
e
e aplicar propagação de erro.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação geral para o volume do cilindro levando em consideração os erros (desvios) das medidas. Foi dada a fórmula do volume e devemos considerar medidas com incertezas
e
, aplicando propagação de erro.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
As incógnitas/quantidades com erro são
(diâmetro) com incerteza
e
(altura) com incerteza
.
Objetivo: obter uma expressão para a incerteza absoluta do volume e, se conveniente, a forma relativa
. Não vamos supor correlação entre os erros (erros independentes) e vamos usar a aproximação de primeira ordem (erros pequenos).
Objetivo: obter uma expressão para a incerteza absoluta
Passo 2
Explicando a regra de propagação de erro (aula rápida, bem mastigada): se você tem uma função
e conhece as incertezas absolutas
e os erros são independentes e pequenos, a incerteza absoluta em
é dada por
O que isso significa na prática:
-
é a derivada parcial de em relação a ; ela mede quanto muda quando muda um pouquinho, mantendo as outras variáveis fixas. - Multiplicando essa derivada pela pequena variação
obtemos a contribuição de para a variação de . - Como as variações são consideradas independentes, somamos as contribuições quadráticas e tiramos raiz quadrada — isso é a soma em quadratura.
Só usar essa fórmula quando os desvios são pequenos e independentes — condição típica em medições de laboratório.
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso
. Primeiro calculamos as derivadas parciais (mostro passo a passo):
Derivada parcial em relação a
:
Aqui
e
são constantes em relação a
. Derivada de
é
. Logo
Derivada parcial em relação a
:
Aqui
e
são constantes; derivada de
é
. Então
Passo 4
Agora montamos a expressão da incerteza absoluta
usando a fórmula da propagação:
Substituindo as derivadas calculadas:
Podemos fatorar um termo comum para simplificar; por exemplo fatorando
(que é exatamente
):
Note que usei a identidade
.
Passo 5
Continuando a simplificação: como
, a expressão fica
Essa é uma forma muito prática: a incerteza relativa do volume é
Se preferir a forma sem fatorizar por
, use a expressão obtida no Passo 4:
Passo 6
Resumo prático e interpretação (para a prova):
- Calcule o volume nominal com
. - Calcule a incerteza absoluta por uma das formas equivalentes abaixo (a que você achar mais simples para a prova):
Forma direta (sem usar
explicitamente):
Forma usando a incerteza relativa:
Essas fórmulas assumem que
e
são pequenos e independentes. Na prática, a segunda forma é muito útil porque dá diretamente a relação entre erros relativos.