Encontrar a equação geral para o volume do cilindro levando em consideração os erros (ou desvios) das medidas. Nota: O volume matemático de um cilindro é dado por V_{c}=\frac{\pi}{4} D^{2} h, onde D é o diâmetro e h é a altura. Considerar (D \pm \delta D) e (h \pm \delta h) e aplicar propagação de erro.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação geral para o volume do cilindro levando em consideração os erros (desvios) das medidas. Foi dada a fórmula do volume e devemos considerar medidas com incertezas (D\pm\delta D) e (h\pm\delta h), aplicando propagação de erro.
Informações fornecidas:
V_c=\frac{\pi}{4}D^{2}h
As incógnitas/quantidades com erro são D (diâmetro) com incerteza \delta D e h (altura) com incerteza \delta h.
Objetivo: obter uma expressão para a incerteza absoluta \delta V do volume e, se conveniente, a forma relativa \frac{\delta V}{V}. Não vamos supor correlação entre os erros (erros independentes) e vamos usar a aproximação de primeira ordem (erros pequenos).

Passo 2

Explicando a regra de propagação de erro (aula rápida, bem mastigada): se você tem uma função f(x,y,\dots) e conhece as incertezas absolutas \delta x,\delta y,\dots e os erros são independentes e pequenos, a incerteza absoluta em f é dada por
\delta f=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\,\delta x\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\,\delta y\right)^{2}+\cdots}
O que isso significa na prática:
  • \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x; ela mede quanto f muda quando x muda um pouquinho, mantendo as outras variáveis fixas.
  • Multiplicando essa derivada pela pequena variação \delta x obtemos a contribuição de x para a variação de f.
  • Como as variações são consideradas independentes, somamos as contribuições quadráticas e tiramos raiz quadrada — isso é a soma em quadratura.
Só usar essa fórmula quando os desvios são pequenos e independentes — condição típica em medições de laboratório.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso V(D,h)=\dfrac{\pi}{4}D^{2}h. Primeiro calculamos as derivadas parciais (mostro passo a passo):
Derivada parcial em relação a D:
\frac{\partial V}{\partial D} = \frac{\partial}{\partial D}\left(\frac{\pi}{4}D^{2}h\right)
Aqui h e \pi/4 são constantes em relação a D. Derivada de D^{2} é 2D. Logo
\frac{\partial V}{\partial D}=\frac{\pi}{4}\cdot 2D\cdot h=\frac{\pi}{2}Dh.
Derivada parcial em relação a h:
\frac{\partial V}{\partial h} = \frac{\partial}{\partial h}\left(\frac{\pi}{4}D^{2}h\right)
Aqui D^{2} e \pi/4 são constantes; derivada de h é 1. Então
\frac{\partial V}{\partial h}=\frac{\pi}{4}D^{2}.

Passo 4

Agora montamos a expressão da incerteza absoluta \delta V usando a fórmula da propagação:
\delta V = \sqrt{\left(\frac{\partial V}{\partial D}\,\delta D\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial h}\,\delta h\right)^{2}}.
Substituindo as derivadas calculadas:
\delta V = \sqrt{\left(\frac{\pi}{2}Dh\,\delta D\right)^{2}+\left(\frac{\pi}{4}D^{2}\,\delta h\right)^{2}}.
Podemos fatorar um termo comum para simplificar; por exemplo fatorando \dfrac{\pi}{4}D^{2}h (que é exatamente V):
\delta V = \sqrt{\left(\frac{\pi}{4}D^{2}h\cdot\frac{2\delta D}{D}\right)^{2}+\left(\frac{\pi}{4}D^{2}h\cdot\frac{\delta h}{h}\right)^{2}}.
Note que usei a identidade \dfrac{\pi}{2}Dh\,\delta D = \dfrac{\pi}{4}D^{2}h\cdot\frac{2\delta D}{D}.

Passo 5

Continuando a simplificação: como \dfrac{\pi}{4}D^{2}h=V, a expressão fica
\delta V = V\sqrt{\left(2\frac{\delta D}{D}\right)^{2}+\left(\frac{\delta h}{h}\right)^{2}}.
Essa é uma forma muito prática: a incerteza relativa do volume é
\frac{\delta V}{V}=\sqrt{\left(2\frac{\delta D}{D}\right)^{2}+\left(\frac{\delta h}{h}\right)^{2}}.
Se preferir a forma sem fatorizar por V, use a expressão obtida no Passo 4:
\delta V = \sqrt{\left(\frac{\pi}{2}Dh\,\delta D\right)^{2}+\left(\frac{\pi}{4}D^{2}\,\delta h\right)^{2}}.

Passo 6

Resumo prático e interpretação (para a prova):
  • Calcule o volume nominal com \;V=\dfrac{\pi}{4}D^{2}h.
  • Calcule a incerteza absoluta por uma das formas equivalentes abaixo (a que você achar mais simples para a prova):
Forma direta (sem usar V explicitamente):
\delta V=\sqrt{\left(\frac{\pi}{2}Dh\,\delta D\right)^{2}+\left(\frac{\pi}{4}D^{2}\,\delta h\right)^{2}}.
Forma usando a incerteza relativa:
\delta V=V\sqrt{\left(2\frac{\delta D}{D}\right)^{2}+\left(\frac{\delta h}{h}\right)^{2}}.
Essas fórmulas assumem que \delta D e \delta h são pequenos e independentes. Na prática, a segunda forma é muito útil porque dá diretamente a relação entre erros relativos.

Resposta

V=\frac{\pi}{4}D^{2}h
\delta V=\sqrt{\left(\frac{\pi}{2}Dh\,\delta D\right)^{2}+\left(\frac{\pi}{4}D^{2}\,\delta h\right)^{2}}
\text{ou}\quad \delta V=V\sqrt{\left(2\frac{\delta D}{D}\right)^{2}+\left(\frac{\delta h}{h}\right)^{2}}.

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