Encontrar a equação geral para o volume de uma esfera levando em consideração os erros (ou desvios) das medidas. Nota: Lembre-se que o volume matemático da esfera é dado por V_{e}=\frac{4 \pi}{3} r^{3}, mas no laboratório temos acesso apenas ao diâmetro, assim, V_{e}=\frac{\pi}{6} D^{3}, onde D é o diâmetro da esfera. Considerar (D \pm \delta D) e aplicar propagação de erro.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação geral para o volume de uma esfera levando em consideração os erros (ou desvios) das medidas. As informações que temos são:
A fórmula matemática do volume em função do diâmetro é V_{e}=\dfrac{\pi}{6}D^{3}.
Medimos o diâmetro como D\pm \delta D, ou seja, o valor medido é D e a incerteza (erro) associada é \delta D.
Queremos uma expressão que dê o volume incluindo a incerteza resultante \delta V (ou seja, V\pm \delta V) usando propagação de erro.
Nada mais foi fornecido e assumimos que \delta D é pequeno frente a D (condição típica para aplicar a propagação linear de erros).
Passo 2
Idea básica da propagação de erro (explicação didática): se uma quantidade V depende de uma única variável medida D por uma função V(D), e D tem incerteza \delta D pequena, então a variação em V é aproximada pela derivada multiplicada pela variação em D. Isso vem da expansão de Taylor em torno de D:
V(D+\Delta D)\approx V(D)+\frac{dV}{dD}\Delta D
Desprezamos termos de ordem superior em \Delta D quando \Delta D é pequeno. Portanto a incerteza absoluta em V é dada por
\delta V \approx \left|\frac{dV}{dD}\right|\delta D.
Aqui o valor absoluto aparece porque \delta V é uma magnitude (sempre positiva). Essa é a fórmula padrão de propagação de erro para uma única variável.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: a função é
V(D)=\frac{\pi}{6}D^{3}.
Vamos derivar essa função em relação a D. Regra usada: se f(D)=D^{n} então f'(D)=nD^{n-1}. Aplicando:
Expliquei cada passo: multipliquei o coeficiente \dfrac{\pi}{6} por 3 (vindo da potência) e reduzi o expoente de D^{3} para D^{2}.
Passo 4
Usando a fórmula de propagação do Passo 2:
\delta V \approx \left|\frac{dV}{dD}\right|\delta D = \frac{\pi}{2}D^{2}\,\delta D.
Aqui \delta V é o erro absoluto no volume resultante do erro \delta D no diâmetro. Como \frac{\pi}{2}D^{2} é positivo, não precisamos nos preocupar com o sinal.
Passo 5
Escrevendo o volume medido com sua incerteza:
V \approx \frac{\pi}{6}D^{3}\;\pm\;\frac{\pi}{2}D^{2}\,\delta D.
Essa é a forma absoluta. Às vezes é útil fatorar a forma relativa para ver a relação percentual entre erros:
Passo 6
Cálculo do erro relativo: dividimos \delta V por V:
Interpretação: o erro relativo no volume é três vezes o erro relativo no diâmetro. Ou em porcentagem:
\text{Erro percentual no volume} \approx 3\left(\frac{\delta D}{D}\times 100\%\right).
Passo 7
Checagem alternativa (via raio) para reforçar a intuição: comece por V(r)=\dfrac{4\pi}{3}r^{3}. A propagação para r dá \delta V= \left| \dfrac{dV}{dr}\right|\delta r = 4\pi r^{2}\delta r. Como r=D/2 e \delta r=\delta D/2, substituindo:
\delta V = 4\pi \left(\frac{D}{2}\right)^{2}\frac{\delta D}{2} = \frac{\pi}{2}D^{2}\delta D,
o que coincide com o resultado anterior — bom sinal.
Passo 8
Observações práticas e limites da aproximação: a fórmula \delta V=\dfrac{\pi}{2}D^{2}\delta D é uma aproximação de primeira ordem (linear). É válida quando \delta D\ll D. Se \delta D for grande, termos de ordem superior em (\delta D)^{2} aparecem e a estimativa linear subestima a variação real; aí seria preciso incluir termos de segunda ordem da expansão de Taylor ou fazer simulações/integração do intervalo.
Resposta
V \approx \dfrac{\pi}{6}D^{3}\;\pm\;\dfrac{\pi}{2}D^{2}\,\delta D \dfrac{\delta V}{V} \approx 3\,\dfrac{\delta D}{D}