Encontrar a equação geral para o volume do cilindro vazado levando em consideração os erros (ou desvios) das medidas. Nota: Lembre-se que o volume matemático de um cilindro vazado é dado por V_{c v}=\frac{\pi}{4}\left(D^{2}-d^{2}\right) h, onde D é o diâmetro externo, d é o diâmetro da abertura interna e h é a altura. Considerar (D \pm \delta D),(d \pm \delta d) e (h \pm \delta h) e aplicar propagação de erro.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação geral do volume do cilindro vazado levando em conta os erros das medidas, ou seja, expressar V com sua incerteza associada quando as medidas são (D \pm \delta D), (d \pm \delta d) e (h \pm \delta h). As informações dadas são:
V_{cv} = \frac{\pi}{4}\left(D^{2}-d^{2}\right) h,
onde \;D é o diâmetro externo, \;d é o diâmetro interno, \;h é a altura, e \delta D,\\ \delta d,\\ \delta h são as incertezas (desvios) dessas medidas. Não foram fornecidos valores numéricos, então a resposta deve ficar em forma simbólica geral.

Passo 2

Conceito e fórmula de propagação de erro (aula rápida e prática). Quando uma grandeza f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}) depende de várias variáveis independentes com pequenas incertezas \delta x_{i}, a incerteza absoluta aproximada em f, assumindo erros independentes e regime linear (primeira ordem), é dada por:
\delta f \approx \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\,\delta x_{i}\right)^{2}}.
Explicando: \frac{\partial f}{\partial x_{i}} é a derivada parcial de f em relação à variável x_{i}; ela mede quanto f muda quando x_{i} muda um pouco. Multiplicando por \delta x_{i} obtemos a contribuição da incerteza de x_{i} para a incerteza em f; somamos em quadratura (raiz da soma dos quadrados) porque assumimos erros independentes e com sinais aleatórios. Essa é a forma padrão de propagação de erros por linearização.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: f\equiv V_{cv}(D,d,h)=\dfrac{\pi}{4}(D^{2}-d^{2})h. Vamos calcular as derivadas parciais uma a uma, mostrando passo a passo.
Derivada parcial em relação a D:
\frac{\partial V}{\partial D}=\frac{\pi}{4}\cdot 2D\cdot h=\frac{\pi}{2}Dh.
Derivada parcial em relação a d:
\frac{\partial V}{\partial d}=\frac{\pi}{4}\cdot (-2d)\cdot h=-\frac{\pi}{2}dh.
Derivada parcial em relação a h:
\frac{\partial V}{\partial h}=\frac{\pi}{4}\left(D^{2}-d^{2}\right).
Notas rápidas: para obter \partial V/\partial D trate h e d como constantes; a derivada de D^{2} é 2D. Mesma lógica para \partial V/\partial d (vem o sinal negativo porque a função tem -d^{2}). Para \partial V/\partial h a expressão D^{2}-d^{2} é constante em relação a h.

Passo 4

Agora substituímos essas derivadas na fórmula de propagação de incerteza. Usando a fórmula em Passo 2:
\delta V = \sqrt{\left(\frac{\partial V}{\partial D}\,\delta D\right)^{2} + \left(\frac{\partial V}{\partial d}\,\delta d\right)^{2} + \left(\frac{\partial V}{\partial h}\,\delta h\right)^{2}}.
Substituindo as derivadas encontradas:
\delta V = \sqrt{\left(\frac{\pi}{2}Dh\,\delta D\right)^{2} + \left(-\frac{\pi}{2}dh\,\delta d\right)^{2} + \left(\frac{\pi}{4}(D^{2}-d^{2})\,\delta h\right)^{2}}.
Como os sinais não importam dentro dos quadrados, podemos tirar um fator comum \dfrac{\pi}{4} para deixar mais compacto. Observe que \dfrac{\pi}{2}=2\cdot\dfrac{\pi}{4}. Então:
\delta V = \frac{\pi}{4}\sqrt{(2Dh\,\delta D)^{2} + (2dh\,\delta d)^{2} + \bigl((D^{2}-d^{2})\,\delta h\bigr)^{2}}.

Passo 5

Expressão alternativa em termos de incerteza relativa (útil para ver contribuições percentuais). Primeiro escrevemos o volume nominal:
V=\frac{\pi}{4}(D^{2}-d^{2})h.
Dividindo cada termo da fórmula da incerteza por |V| obtemos a incerteza relativa:
\frac{\delta V}{|V|} = \sqrt{\left(\frac{\frac{\pi}{2}Dh\,\delta D}{\frac{\pi}{4}(D^{2}-d^{2})h}\right)^{2} + \left(\frac{-\frac{\pi}{2}dh\,\delta d}{\frac{\pi}{4}(D^{2}-d^{2})h}\right)^{2} + \left(\frac{\frac{\pi}{4}(D^{2}-d^{2})\,\delta h}{\frac{\pi}{4}(D^{2}-d^{2})h}\right)^{2}}.
Simplificando os fatores (os \pi e h cancelam adequadamente) obtemos:
\frac{\delta V}{|V|} = \sqrt{\left(\frac{2D\,\delta D}{D^{2}-d^{2}}\right)^{2} + \left(\frac{2d\,\delta d}{D^{2}-d^{2}}\right)^{2} + \left(\frac{\delta h}{h}\right)^{2}}.
Interpretação prática: as contribuições das incertezas em D e d aparecem multiplicadas por 2D/(D^{2}-d^{2}) e 2d/(D^{2}-d^{2}) respectivamente, enquanto a incerteza de h aparece como a incerteza relativa usual \delta h/h.

Passo 6

Resumo e forma final prontas para uso em prova: a incerteza absoluta \delta V e a forma V\pm \delta V ficam assim, em notação direta para aplicar com quaisquer valores de D,d,h e suas incertezas.

Resposta

V=\frac{\pi}{4}\left(D^{2}-d^{2}\right)h \pm \delta V
\delta V = \frac{\pi}{4}\sqrt{(2Dh\,\delta D)^{2} + (2dh\,\delta d)^{2} + \bigl((D^{2}-d^{2})\,\delta h\bigr)^{2}}
\frac{\delta V}{|V|} = \sqrt{\left(\frac{2D\,\delta D}{D^{2}-d^{2}}\right)^{2} + \left(\frac{2d\,\delta d}{D^{2}-d^{2}}\right)^{2} + \left(\frac{\delta h}{h}\right)^{2}}

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