Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva y=x^2-2 x+1, no ponto (2,5).

Passo 1

O enunciado pede para achar as retas tangente e normal à curva y = x^2 - 2x + 1 no ponto (2,5). Estamos estudando derivadas de funções polinomiais e vamos usar a derivada para encontrar o coeficiente angular da tangente e, em seguida, o da normal.

Passo 2

Para obter o coeficiente angular da reta tangente, calculamos a derivada da função. Temos:
y = x^2 - 2x + 1
A derivada é
y' = 2x - 2
Avaliando em x = 2, obtemos o coeficiente mtang = y'(2) = 2.

Passo 3

Agora que sabemos mtang = 2, usamos a forma ponto-inclinação para escrever a reta tangente passando por (2,5):
y - 5 = 2(x - 2)
Simplificando essa expressão, chegamos a y = 2x + 1.

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente é o negativo do inverso de mtang: mnorm = -tfrac12. Aplicando ponto-inclinação em (2,5):
y - 5 = -tfrac12(x - 2)
E simplificando vem y = -tfrac12x + 6.

Resposta

As equações são: reta tangente y = 2x + 1 e reta normal y = -tfrac12x + 6.

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