Use a Transformada de Laplace para obter a solução do Problema de Valor Inicial e Fronteira abaixo ^4 Aqui, g(t) é uma função dada.
ut t-ux x=0, & t, x>0 u(0, t)=g(t), & t>0 lim x +infty u(x, t)=0, & t>0 u(x, 0)=ut(x, 0)=0, & x>0

Passo 1

O problema é a equação da onda unidimensional no semiespaço x>0, com condições iniciais homogêneas u(x,0)=u_t(x,0)=0 e condição de contorno u(0,t)=g(t), além de u(x,t)→0 quando x→∞. Vamos usar a transformada de Laplace em t para resolver.

Passo 2

Definimos a transformada de Laplace de u(x,t) por tilde u(x,s)= Lu(x,t)=integral0^inftye^-stu(x,t),dt. Como as condições iniciais são nulas, temos Lutt=s^2tilde u(x,s) e Luxx=tilde uxx(x,s). Assim a PDE vira
s^2tilde u(x,s)-tilde uxx(x,s)=0
Esse é um EDO em x:
tilde uxx(x,s)-s^2tilde u(x,s)=0

Passo 3

A equação característica é r^2-s^2=0, com raízes r=pm s. Logo a solução geral é
tilde u(x,s)=A(s)e^s x+B(s)e^-s x

Passo 4

Como queremos u(x,t)to0 quando xto+infty, a parte e^s x diverge (para Re(s)>0), logo A(s)=0. Restando
tilde u(x,s)=B(s)e^-s x

Passo 5

Em x=0 temos tilde u(0,s)= Lu(0,t)= Lg(t)=G(s). Assim B(s)=G(s) e
tilde u(x,s)=G(s)e^-s x

Passo 6

Para inverter, usamos o teorema do deslocamento: multiplicar por e^-s x no domínio de Laplace corresponde a um deslocamento no tempo, gerando a função de Heaviside. Obtém-se
u(x,t)= L^-1G(s)e^-s x=g(t-x),H(t-x)

Resposta

u(x,t)= 0,&t= x

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