Use a Transformada de Laplace para obter a solução do Problema de Valor Inicial e Fronteira abaixo Aqui, é uma função dada.
Passo 1
O problema é a equação da onda unidimensional no semiespaço x>0, com condições iniciais homogêneas u(x,0)=u_t(x,0)=0 e condição de contorno u(0,t)=g(t), além de u(x,t)→0 quando x→∞. Vamos usar a transformada de Laplace em t para resolver.
Passo 2
Definimos a transformada de Laplace de u(x,t) por tilde u(x,s)= Lu(x,t)=integral0^inftye^-stu(x,t),dt. Como as condições iniciais são nulas, temos Lutt=s^2tilde u(x,s) e Luxx=tilde uxx(x,s). Assim a PDE vira
s^2tilde u(x,s)-tilde uxx(x,s)=0
Esse é um EDO em x: tilde uxx(x,s)-s^2tilde u(x,s)=0
Passo 3
A equação característica é r^2-s^2=0, com raízes r=pm s. Logo a solução geral é
tilde u(x,s)=A(s)e^s x+B(s)e^-s x
Passo 4
Como queremos u(x,t)to0 quando xto+infty, a parte e^s x diverge (para Re(s)>0), logo A(s)=0. Restando
tilde u(x,s)=B(s)e^-s x
Passo 5
Em x=0 temos tilde u(0,s)= Lu(0,t)= Lg(t)=G(s). Assim B(s)=G(s) e
tilde u(x,s)=G(s)e^-s x
Passo 6
Para inverter, usamos o teorema do deslocamento: multiplicar por e^-s x no domínio de Laplace corresponde a um deslocamento no tempo, gerando a função de Heaviside. Obtém-se