Encontrar, se existirem, os pontos de máximo locais, mínimo locais e pontos de sela da função f(x, y)=(x-1)^2+y^2+(6-x-2 y)^2.
Obs.: Se os referidos pontos não existirem, escreva não existem na resposta final. Justifique, qualquer que seja a sua resposta.

Passo 1

A função dada é f(x,y)=(x-1)^2+y^2+(6-x-2y)^2. O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis: vamos calcular derivadas parciais, encontrar pontos críticos e usar a Hessiana para classificar extremos.

Passo 2

Para achar pontos críticos, calculamos as derivadas parciais. Temos:
fx=partial fpartial x=2(x-1) + 2(6-x-2y)(-1)=2x-2 -2(6-x-2y)=4x+4y-14,
fy=partial fpartial y=2y + 2(6-x-2y)(-2)=2y -4(6-x-2y)=4x+12y-24

Passo 3

Em seguida, resolvemos o sistema fx=0 e fy=0:
4x+4y-14=0 4x+12y-24=0
Dividindo por 4 e resolvendo, obtemos
x+y=3,5 x+3y=6Rightarrow y=1,25,;x=2,25

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana H:
H=fxx&fxyfyx&fyy=4&44&12

Passo 5

Para testar a definitude de H usamos o determinante e o traço: det (H)=4cdot12-4cdot4=32>0 e fxx=4>0. Isso mostra que H é definida positiva.

Passo 6

Como a Hessiana é definida positiva em todo o domínio, o ponto crítico (2,25,1,25) é um mínimo local (e global) de f. Não há máximos locais nem pontos de sela, pois a função é convexa.

Resposta

Mínimo local em (x,y)=(2,25,1,25); não existem máximos locais nem pontos de sela.

Exercícios relacionados