Encontrar, se existirem, os pontos de máximo locais, mínimo locais e pontos de sela da função
.
Obs.: Se os referidos pontos não existirem, escreva não existem na resposta final. Justifique, qualquer que seja a sua resposta.
Obs.: Se os referidos pontos não existirem, escreva não existem na resposta final. Justifique, qualquer que seja a sua resposta.
Passo 1
A função dada é
. O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis: vamos calcular derivadas parciais, encontrar pontos críticos e usar a Hessiana para classificar extremos.
Passo 2
Para achar pontos críticos, calculamos as derivadas parciais. Temos:
Passo 3
Em seguida, resolvemos o sistema
e
:
Dividindo por 4 e resolvendo, obtemos
Passo 4
Agora montamos a matriz Hessiana
:
Passo 5
Para testar a definitude de
usamos o determinante e o traço: det
e
. Isso mostra que
é definida positiva.
Passo 6
Como a Hessiana é definida positiva em todo o domínio, o ponto crítico
é um mínimo local (e global) de
. Não há máximos locais nem pontos de sela, pois a função é convexa.
Resposta
Mínimo local em
; não existem máximos locais nem pontos de sela.