Use que F^(n)(s)=L(-t)^n f(t) para encontrar a transformada de Laplace.
f(t)=t^2 sin (k t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t^2sin(kt) usando a propriedade F^(n)(s)=L(-t)^n f(t). O conteúdo requerido é transformada de Laplace e a relação entre multiplicação por t^n no tempo e derivadas em s.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a transformada de sin(kt) é
F(s)=Lsin(kt)=ks^2+k^2

Passo 3

Como (-t)^2=t^2, a propriedade implica
Lt^2sin(kt)=F''(s)

Passo 4

Agora calculamos a primeira derivada de F(s):
F'(s)=ddsl(ks^2+k^2r)=-2k,s(s^2+k^2)^2

Passo 5

Para a segunda derivada, aplicamos a regra do produto a F'(s)=-2k,s,(s^2+k^2)^-2. Definindo u=-2k,s e v=(s^2+k^2)^-2, temos u'=-2k e v'=-4s,(s^2+k^2)^-3. Assim
F''(s)=u',v+u,v'=-2k,(s^2+k^2)^-2+(-2k,s)(-4s),(s^2+k^2)^-3

Passo 6

Fazendo a simplificação de termos semelhantes obtemos
F''(s)=-2k(s^2+k^2)^2+8k,s^2(s^2+k^2)^3=2k(3s^2-k^2)(s^2+k^2)^3

Resposta

Lt^2sin(kt)=2k(3s^2-k^2)(s^2+k^2)^3

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