Use a transformada de Laplace e expresse a solução dos problemas como uma integral.
;
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial
com condições iniciais
e
. O conteúdo envolvido é transformada de Laplace e propriedade da convolução para obter a solução em forma de integral. Vamos precisar das fórmulas da transformada de derivadas, manipular expressões em
e usar convolução para inverter o produto
.
Passo 2
Aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação. Temos:
Passo 3
E pelas fórmulas
onde
Passo 4
Logo resolvemos para
:
Passo 5
Note que o denominador se fatoriza como
e o numerador da parte homogênea pode ser reescrito:
Passo 6
Assim obtemos a decomposição:
Passo 7
Invertemos cada termo separadamente. Sabemos que
e pela propriedade da convolução temos
Passo 8
Somando os três termos, chegamos à solução completa.