Use a transformada de Laplace e expresse a solução dos problemas como uma integral.
y^prime prime+6 y^prime+9 y=g(t), y(0)=a, y^prime(0)=b;

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial y''+6y'+9y=g(t) com condições iniciais y(0)=a e y'(0)=b. O conteúdo envolvido é transformada de Laplace e propriedade da convolução para obter a solução em forma de integral. Vamos precisar das fórmulas da transformada de derivadas, manipular expressões em s e usar convolução para inverter o produto G(s)/(s+3)^2.

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação. Temos:
Ly''+6,Ly'+9,Ly=Lg(t)

Passo 3

E pelas fórmulas
Ly''=s^2Y(s)-s,a-b,Ly'=s,Y(s)-a,Ly=Y(s),
onde Y(s)=Ly(t) e G(s)=Lg(t). Agrupando tudo:
(s^2+6s+9)Y(s)-(s+6)a-b=G(s)

Passo 4

Logo resolvemos para Y(s):
Y(s)=(s+6)a+bs^2+6s+9+G(s)s^2+6s+9

Passo 5

Note que o denominador se fatoriza como (s+3)^2 e o numerador da parte homogênea pode ser reescrito:
(s+6)a+b=a(s+3)+(b+3a)

Passo 6

Assim obtemos a decomposição:
Y(s)=as+3+b+3a(s+3)^2+G(s)(s+3)^2

Passo 7

Invertemos cada termo separadamente. Sabemos que
L^-1a/(s+3)=a e^-3t,L^-1(b+3a)/(s+3)^2=(b+3a),t,e^-3t,
e pela propriedade da convolução temos
L^-1G(s)/(s+3)^2=integral0^t(t-tau)e^-3(t-tau)g(tau),dtau

Passo 8

Somando os três termos, chegamos à solução completa.

Resposta

y(t)=e^-3tl(a+(b+3a)tr)+integral0^t(t-tau)e^-3(t-tau),g(tau),dtau

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