Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas nos Exercs. 3 a 10, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada f^prime(z). (Observe que esta derivada, quando existe, é dada por partial f / partial x.)
w=e^-y(cos x+i sen x).

Passo 1

O enunciado pede para usarmos as equações de Cauchy–Riemann para verificar se a função é analítica e, em caso afirmativo, calcular sua derivada f
'(z), lembrando que f
'(z)=∂f/∂x.

Passo 2

Identificamos as partes real e imaginária de w. Se z=x+iy e w=u(x,y)+iv(x,y), temos
u(x,y)=e^{-y},\cos x
v(x,y)=e^{-y},\sin x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
&ux=-e^-y,sin x, uy=-e^-y,cos x, &vx=e^-y,cos x, vy=-e^-y,sin x

Passo 4

Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
ux=vyLongrightarrow -e^-ysin x=-e^-ysin xe uy=-vxLongrightarrow -e^-ycos x=-e^-ycos x
Elas valem em todo (x,y).

Passo 5

Como u e v têm derivadas contínuas e satisfazem Cauchy–Riemann em todo o plano, f é analítica em C.

Passo 6

Para a derivada usamos f
'(z)=∂u/∂x+i∂v/∂x, logo
f'(z)=ux+i,vx=-e^-ysin x+i,e^-ycos x

Resposta

f é analítica em C e f'(z)=-e^-y,sin x + i,e^-y,cos x.

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