Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas nos Exercs. 3 a 10, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada
. (Observe que esta derivada, quando existe, é dada por
.)
.
Passo 1
O enunciado pede para usarmos as equações de Cauchy–Riemann para verificar se a função é analítica e, em caso afirmativo, calcular sua derivada f
'(z), lembrando que f
'(z)=∂f/∂x.
'(z), lembrando que f
'(z)=∂f/∂x.
Passo 2
Identificamos as partes real e imaginária de w. Se z=x+iy e w=u(x,y)+iv(x,y), temos
u(x,y)=e^{-y},\cos x
v(x,y)=e^{-y},\sin x
u(x,y)=e^{-y},\cos x
v(x,y)=e^{-y},\sin x
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
Elas valem em todo (x,y).
Passo 5
Como u e v têm derivadas contínuas e satisfazem Cauchy–Riemann em todo o plano, f é analítica em
.
Passo 6
Para a derivada usamos f
'(z)=∂u/∂x+i∂v/∂x, logo
'(z)=∂u/∂x+i∂v/∂x, logo
Resposta
f é analítica em
e
.