Encontrar a fração geratriz das dízimas seguintes:
a=2,001111 ldots b=2,1010101010 ldots c=1,23333333 ldots

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a fração geratriz (ou sea, a forma racional) de três dízimas periódicas:
a=2,001111ldots, b=2,10101010ldots e c=1,2333333ldots.
O conteúdo usado será a conversão de decimal periódico em fração, isolando parte não periódica e periódica.

Passo 2

Para uma dízima com parte não periódica de m casas e parte periódica de n casas, fazemos:
– multiplicamos o número por 10^m+n e por 10^m;
– subtraímos as duas equações para eliminar a parte periódica;
– obtemos uma expressão da forma
10^m+nx - 10^m x = inteiro,
logo
x = inteiro10^m+n-10^m

Passo 3

Aplicando a fórmula em a=2,001111ldots:
a parte não periódica tem m=2 (os dígitos “00”) e o período tem n=1 (o dígito “1”).
Multiplicamos por 10^3=1000 e por 10^2=100:
1000a = 2001,111111ldots
100a = 200,111111ldots
Subtraindo:
1000a - 100a = 900a = 2001,111111ldots - 200,111111ldots = 1801
Logo
a = 1801900

Passo 4

Para b=2,10101010ldots não há parte não periódica ( m=0) e o período tem n=2 (“10”).
Multiplicamos por 10^2=100 e por 10^0=1:
100b = 210,101010ldots
1b = 2,101010ldots
Subtraindo:
100b - b = 99b = 210,101010ldots - 2,101010ldots = 208
Logo
b = 20899

Passo 5

Para c=1,2333333ldots a parte não periódica tem m=1 (o dígito “2”) e o período tem n=1 (o dígito “3”).
Multiplicamos por 10^2=100 e por 10^1=10:
100c = 123,333333ldots
10c = 12,333333ldots
Subtraindo:
100c - 10c = 90c = 123,333333ldots - 12,333333ldots = 111
Logo
c = 11190 = 3730

Resposta

a) 1801900
b) 20899
c) 3730

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