Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
com condição inicial
. Este é um caso de equação homogênea de primeira ordem (os termos em
têm o mesmo grau), então vamos usar a substituição
Passo 2
Primeiro colocamos em forma diferencial:
a partir de
a partir de
multiplicamos por
e arrumamos:
Isto é
com
M e
N homogêneos de grau
2 .
Passo 3
Aplicamos
y=vx , logo
Substituindo em
(x^2-3y^2),dy = tfracx,y2,dx dá
Dividindo tudo por
x^2 e reorganizando, chega-se a
Passo 4
Isolamos
dv/dx e separamos variáveis:
Logo
Passo 5
Fazemos frações parciais em
e integramos:
Isso dá
Passo 6
Exponenciando,
onde
C'=e^C . Usando a condição inicial
y(1)=1implies v(1)=1 temos
então
C'=raiz5 . Fica
Passo 7
Voltando a
v=y/x , note que
logo
Elevando ao quadrado:
Passo 8
Resolvendo para
y^2 ,
Como em
x=1 temos
y(1)=1>0 , escolhemos o sinal “
+ ”. Portanto