Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
x2 y^4=(x^2-3 y^2y^5) d yd x, y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
x2,y^4 =gl(x^2-3y^2y^5gr)dydx,
com condição inicial y(1)=1. Este é um caso de equação homogênea de primeira ordem (os termos em x,y têm o mesmo grau), então vamos usar a substituição
y=vx

Passo 2

Primeiro colocamos em forma diferencial:
a partir de
x2,y^4 =x^2-3y^2y^5dydx
multiplicamos por y^5,dx e arrumamos:
(x^2-3y^2),dy=x,y2,dx
Isto é
underbrace-x,y2M(x,y),dx +underbrace(x^2-3y^2)N(x,y),dy=0,
com M e N homogêneos de grau 2.

Passo 3

Aplicamos y=vx, logo
dy=v,dx+x,dv
Substituindo em (x^2-3y^2),dy = tfracx,y2,dx
(x^2-3v^2x^2)(v,dx + x,dv) =x,(v,x)2,dx
Dividindo tudo por x^2 e reorganizando, chega-se a
v + xdvdx =v2,(1-3v^2)

Passo 4

Isolamos dv/dx e separamos variáveis:
xdvdx =v2(1-3v^2)-v =v(6v^2-1)2(1-3v^2)
Logo
2(1-3v^2)v(6v^2-1),dv =dxx

Passo 5

Fazemos frações parciais em
2(1-3v^2)v(6v^2-1) =-2v+6v6v^2-1,
e integramos:
integrall(-2v+6v6v^2-1r)dv =integraldxx
Isso dá
-2ln|v|+tfrac12ln|6v^2-1| =ln|x|+C

Passo 6

Exponenciando,
raiz6v^2-1v^2 =C'x,
onde C'=e^C. Usando a condição inicial y(1)=1implies v(1)=1 temos
raiz6cdot1^2-11^2 =raiz5 =C'cdot1,
então C'=raiz5. Fica
raiz6v^2-1v^2 =raiz5,x

Passo 7

Voltando a v=y/x, note que
raiz6v^2-1 =raiz6y^2-x^2x, v^2=y^2x^2,
logo
xraiz6y^2-x^2y^2 =raiz5,x Longrightarrow raiz6y^2-x^2y^2 =raiz5
Elevando ao quadrado:
6y^2-x^2=5y^4 Longrightarrow 5y^4-6y^2+x^2=0

Passo 8

Resolvendo para y^2,
y^2 =6pmraiz36-20x^210 =3pmraiz9-5x^25
Como em x=1 temos y(1)=1>0, escolhemos o sinal “ +”. Portanto
y(x) =raiz3+raiz9-5x^25

Resposta

y(x) =raiz3+raiz9-5x^25

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